Законът на Хук е открит през 17 век от англичанина Робърт Хук. Това откритие за разтягането на пружина е един от законите на теорията на еластичността и играе важна роля в науката и технологиите.

Определение и формула на закона на Хук

Формулировката на този закон е следната: еластичната сила, която се появява в момента на деформация на тялото, е пропорционална на удължението на тялото и е насочена обратно на движението на частиците на това тяло спрямо други частици по време на деформация.

Математическата нотация на закона изглежда така:

Ориз. 1. Формула на закона на Хук

Където Fupr– съответно еластичната сила, х– удължение на тялото (разстоянието, с което се променя първоначалната дължина на тялото), и к– коефициент на пропорционалност, наречен твърдост на тялото. Силата се измерва в нютони, а удължението на тялото се измерва в метри.

За да разкриете физическия смисъл на твърдостта, трябва да замените единицата, в която се измерва удължението, във формулата на закона на Хук - 1 m, като предварително сте получили израз за k.

Ориз. 2. Формула за твърдост на тялото

Тази формула показва, че твърдостта на тялото е числено равна на еластичната сила, която възниква в тялото (пружината), когато то се деформира с 1 m. Известно е, че твърдостта на пружината зависи от нейната форма, размер и материал от които е направено тялото.

Еластична сила

Сега, след като знаем каква формула изразява закона на Хук, е необходимо да разберем неговата основна стойност. Основната величина е еластичната сила. Появява се в определен момент, когато тялото започне да се деформира, например при свиване или разтягане на пружина. Изпраща се на обратна странаот гравитацията. Когато еластичната сила и силата на тежестта, действащи върху тялото, се изравнят, опората и тялото спират.

Деформацията е необратима промяна, която настъпва в размера и формата на тялото. Те са свързани с движението на частиците една спрямо друга. Ако човек седи на мек стол, тогава столът ще се деформира, тоест характеристиките му ще се променят. Случва се различни видове: огъване, разтягане, компресия, срязване, усукване.

Тъй като еластичната сила е свързана по произход с електромагнитните сили, трябва да знаете, че тя възниква поради факта, че молекулите и атомите - най-малките частици, които изграждат всички тела - се привличат и отблъскват. Ако разстоянието между частиците е много малко, тогава те са засегнати от силата на отблъскване. Ако това разстояние се увеличи, тогава върху тях ще действа силата на привличане. По този начин разликата между силите на привличане и отблъскване се проявява в еластичните сили.

Еластичната сила включва силата на реакция на земята и телесното тегло. Силата на реакцията е от особен интерес. Това е силата, която действа върху тялото, когато е поставено върху която и да е повърхност. Ако тялото е окачено, тогава силата, действаща върху него, се нарича сила на опън на нишката.

Характеристики на еластичните сили

Както вече разбрахме, еластичната сила възниква по време на деформация и е насочена към възстановяване на първоначалните форми и размери, строго перпендикулярни на деформираната повърхност. Еластичните сили също имат редица характеристики.

• те възникват по време на деформация;
• те се появяват в две деформируеми тела едновременно;
• те са перпендикулярни на повърхността, спрямо която се деформира тялото.
• те са противоположни по посока на изместването на телесните частици.

Прилагане на закона на практика

Законът на Хук се прилага както в техническите и високотехнологични устройства, така и в самата природа. Например, еластичните сили се срещат в часовниковите механизми, в амортисьорите в транспорта, във въжетата, гумените ленти и дори в човешките кости. Принципът на закона на Хук е в основата на динамометъра, устройство, използвано за измерване на сила.

Закон на Хукобикновено наричани линейни зависимости между компонентите на напрежението и компонентите на напрежението.

Да вземем елементарен правоъгълен паралелепипед с лица, успоредни на координатните оси, натоварен с нормално напрежение σ x, равномерно разпределени върху две срещуположни лица (фиг. 1). При което σy = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.

До границата на пропорционалност относителното удължение се дава по формулата

Където д— модул на еластичност на опън. За стомана д = 2*10 5 MPa, следователно деформациите са много малки и се измерват като процент или 1 * 10 5 (в тензометрични устройства, които измерват деформации).

Удължаване на елемент в посоката на оста хпридружено от нейното стесняване в напречна посока, обусловено от деформационните компоненти

Където μ - константа, наречена коефициент на странично сгъстяване или коефициент на Поасон. За стомана μ обикновено се приема равно на 0,25-0,3.

Ако въпросният елемент е натоварен едновременно с нормални напрежения σx, σy, σ z, равномерно разпределени по стените му, след което се добавят деформации

Чрез наслагване на компонентите на деформация, причинени от всяко от трите напрежения, получаваме отношенията

Тези връзки се потвърждават от множество експерименти. Приложено метод на наслагванеили суперпозициинамирането на общите деформации и напрежения, причинени от няколко сили, е легитимно, докато деформациите и напреженията са малки и линейно зависими от приложените сили. В такива случаи пренебрегваме малки промени в размерите на деформираното тяло и малки движения на точките на прилагане на външни сили и базираме изчисленията си на първоначалните размери и първоначалната форма на тялото.

Трябва да се отбележи, че малките премествания не означават непременно, че връзките между силите и деформациите са линейни. Така, например, в компресирана сила Qпрът, натоварен допълнително със сила на срязване Р, дори и с малка деформация δ възниква допълнителен момент М = Qδ, което прави проблема нелинеен. В такива случаи общите деформации не са линейни функции на силите и не могат да бъдат получени чрез проста суперпозиция.

Експериментално е установено, че ако напреженията на срязване действат по всички страни на елемента, тогава изкривяването на съответния ъгъл зависи само от съответните компоненти на напрежението на срязване.

Константа Жнаречен модул на еластичност на срязване или модул на срязване.

Общият случай на деформация на елемент поради действието на три нормални и три тангенциални компоненти на напрежение върху него може да се получи чрез суперпозиция: три деформации на срязване, определени от съотношения (5.2b), се наслагват върху три линейни деформации, определени от изрази ( 5.2а). Уравнения (5.2a) и (5.2b) определят връзката между компонентите на деформациите и напреженията и се наричат обобщен закон на Хук. Нека сега покажем, че модулът на срязване Жизразено чрез модул на еластичност на опън ди коефициент на Поасон μ . За да направите това, разгледайте специалния случай, когато σ x = σ , σy = -σ И σ z = 0.

Нека изрежем елемента abcdравнини, успоредни на оста zи наклонени под ъгъл 45° спрямо осите хИ при(фиг. 3). Както следва от условията на равновесие на елемент 0 bс, нормален стрес σ vпо всички страни на елемента abcdса нула и напреженията на срязване са равни

Това състояние на напрежение се нарича чисто срязване. От уравнения (5.2а) следва, че

тоест разширението на хоризонталния елемент е 0 ° Сравно на скъсяването на вертикалния елемент 0 b: εy = -εx.

Ъгъл между лицата абИ пр.н.епромени и съответната стойност на деформация на срязване γ може да се намери от триъгълник 0 bс:

Следва, че

Министерство на образованието на Автономна република Крим

Таврически национален университет на името на. Вернадски

Изучаване на физически закон

ЗАКОН НА ХУК

Изпълнил: студент 1-ва година

Физически факултет гр. F-111

Потапов Евгений

Симферопол-2010

План:

Връзката между какви явления или величини се изразява в закона.

Изявление на закона

Математически израз на закона.

Как е открит законът: въз основа на експериментални данни или теоретично?

Преживени факти, въз основа на които е формулиран законът.

Експерименти, потвърждаващи валидността на закона, формулиран въз основа на теорията.

Примери за използване на закона и отчитане на действието на закона на практика.

Литература.

Връзката между какви явления или количества се изразява в закона:

Законът на Хук свързва явления като напрежение и деформация на твърдо тяло, модул на еластичност и удължение. Модулът на еластичната сила, възникващ при деформация на тялото, е пропорционален на неговото удължение. Удължението е характеристика на деформируемостта на материала, оценена чрез увеличаването на дължината на образец от този материал при разтягане. Еластична сила е сила, която възниква при деформация на тялото и противодейства на тази деформация. Напрежението е мярка за вътрешни сили, които възникват в деформируемо тяло под въздействието на външни влияния. Деформацията е промяна в относителното положение на частиците на тялото, свързана с тяхното движение една спрямо друга. Тези понятия са свързани с така наречения коефициент на твърдост. Зависи от еластичните свойства на материала и размера на тялото.

Декларация на закона:

Законът на Хук е уравнение на теорията на еластичността, което свързва напрежението и деформацията на еластична среда.

Формулировката на закона е, че еластичната сила е право пропорционална на деформацията.

Математически израз на закона:

За тънък прът на опън законът на Хук има формата:

Тук Есила на опън на пръта, Δ л- неговото удължение (компресия) и кНаречен коефициент на еластичност(или твърдост). Минусът в уравнението показва, че силата на опън винаги е насочена в посока, обратна на деформацията.

Ако въведете относителното удължение

и нормално напрежение в напречното сечение

тогава законът на Хук ще бъде записан така

В този си вид той е валиден за всякакви малки обеми материя.

В общия случай напрежението и деформацията са тензори от втори ранг в тримерното пространство (имат по 9 компонента). Свързващият ги тензор на еластичните константи е тензор от четвърти ранг ° С ijklи съдържа 81 коефициента. Поради симетрията на тензора ° С ijkl, както и тензорите на напрежение и деформация, само 21 константи са независими. Законът на Хук изглежда така:

където σ ij- тензор на напрежението, - тензор на деформацията. За изотропен материал, тензорът ° С ijklсъдържа само два независими коефициента.

Как е открит законът: въз основа на експериментални данни или теоретично:

Законът е открит през 1660 г. от английския учен Робърт Хук (Хук) въз основа на наблюдения и експерименти. Откритието, както е посочено от Хук в неговия труд „De potentia restitutiva“, публикуван през 1678 г., е направено от него 18 години по-рано, а през 1676 г. е поставено в друга негова книга под прикритието на анаграмата „ceiiinosssttuv“, което означава „Ut tensio sic vis“ . Според обяснението на автора, горният закон за пропорционалност се прилага не само за металите, но и за дървото, камъните, рога, костите, стъклото, коприната, косите и др.

Опитни факти, въз основа на които е формулиран законът:

Историята мълчи за това...

Експерименти, потвърждаващи валидността на закона, формулиран въз основа на теорията:

Законът е формулиран въз основа на експериментални данни. Наистина, при разтягане на тяло (тел) с определен коефициент на коравина кна разстояние Δ л,тогава техният продукт ще бъде равен по големина на силата, разтягаща тялото (тел). Това съотношение ще е вярно обаче не за всички деформации, а за малките. При големи деформации законът на Хук престава да важи и тялото се срутва.

Примери за използване на закона и отчитане на действието на закона на практика:

Както следва от закона на Хук, удължението на пружина може да се използва, за да се прецени силата, действаща върху нея. Този факт се използва за измерване на силите с помощта на динамометър - пружина с линейна скала, калибрирана за различни стойности на силата.

Литература.

1. Интернет ресурси: - уебсайт на Wikipedia (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83 % D0%BA%D0%B0).

2. учебник по физика Peryshkin A.V. 9 клас

3. учебник по физика V.A. Касянов 10 клас

4. лекции по механика Ryabushkin D.S.

Както знаете, физиката изучава всички закони на природата: от най-простите до най-общите принципи на естествената наука. Дори в тези области, където изглежда, че физиката не е в състояние да разбере, тя все пак играе първостепенна роля и всеки най-малък закон, всеки принцип - нищо не ѝ убягва.

Във връзка с

Физиката е в основата на основите, тя лежи в началото на всички науки.

Физика изучава взаимодействието на всички тела,едновременно парадоксално малки и невероятно големи. Съвременната физика активно изучава не просто малки, а хипотетични тела и дори това хвърля светлина върху същността на Вселената.

Физиката е разделена на раздели,това опростява не само самата наука и нейното разбиране, но и методологията на изследване. Механиката се занимава с движението на телата и взаимодействието на движещи се тела, термодинамиката се занимава с топлинни процеси, електродинамиката се занимава с електрически процеси.

Защо механиците трябва да изучават деформацията?

Когато говорим за компресия или напрежение, трябва да си зададете въпроса: кой клон на физиката трябва да изучава този процес? При силни изкривявания може да се отдели топлина, може би термодинамиката трябва да се справи с тези процеси? Понякога при компресиране на течности започва да кипи, а при компресиране на газове се образуват течности? И така, трябва ли хидродинамиката да разбира деформацията? Или молекулярно-кинетична теория?

Всичко зависи от на силата на деформация, на нейната степен.Ако деформируемата среда (материал, който се компресира или разтяга) позволява и компресията е малка, има смисъл да се разглежда този процес като движение на някои точки на тялото спрямо други.

И тъй като въпросът е чисто свързан, значи механиците ще се занимават с него.

Законът на Хук и условията за неговото изпълнение

През 1660 г. известният английски учен Робърт Хук открива явление, което може да се използва за механично описание на процеса на деформация.

За да разберем при какви условия е изпълнен законът на Хук, Нека се ограничим до два параметъра:

• сряда;
• сила.

Има среди (например газове, течности, особено вискозни течности, близки до твърди състояния или, обратно, много течни течности), за които е невъзможно процесът да се опише механично. Обратно, има среди, в които при достатъчно големи сили механиката спира да „работи“.

важно!На въпроса: „При какви условия е верен законът на Хук?“ Може да се даде категоричен отговор: „При малки деформации“.

Закон на Хук, определение: Деформацията, която възниква в тялото, е право пропорционална на силата, която причинява тази деформация.

Естествено, това определение предполага, че:

• компресията или разтягането са малки;
• еластичен предмет;
• състои се от материал, в който няма нелинейни процеси в резултат на компресия или опън.

Законът на Хук в математическа форма

Формулировката на Хук, която цитирахме по-горе, позволява да я напишем в следната форма:

където е промяната в дължината на тялото поради компресия или разтягане, F е силата, приложена към тялото и причиняваща деформация (еластична сила), k е коефициентът на еластичност, измерен в N/m.

Трябва да се помни, че законът на Хук важи само за малки участъци.

Отбелязваме също, че има същия външен вид, когато се разтяга и компресира. Като се има предвид, че силата е векторна величина и има посока, тогава в случай на компресия следната формула ще бъде по-точна:

Но отново всичко зависи от това накъде ще бъде насочена оста, спрямо която измервате.

Каква е основната разлика между компресия и разширение? Нищо, ако е незначително.

Степента на приложимост може да се разглежда, както следва:

Нека обърнем внимание на графиката. Както виждаме, с малки участъци (първата четвърт от координатите) за дълго времесилата с координатата има линейна връзка (червена права линия), но тогава реалната връзка (пунктирана линия) става нелинейна и законът престава да бъде верен. На практика това се отразява чрез толкова силно разтягане, че пружината спира да се връща в първоначалното си положение и губи свойствата си. С още повече разтягане настъпва счупване и конструкцията се срутваматериал.

При малки компресии (трета четвърт от координатите) дълго време силата с координатата също има линейна връзка (червена права линия), но след това реалната връзка (пунктирана линия) става нелинейна и всичко отново спира да работи. На практика това води до толкова силна компресия, че започва да се отделя топлинаи пружината губи свойствата си. При още по-голяма компресия намотките на пружината се „залепват“ и тя започва да се деформира вертикално, след което напълно се стопява.

Както виждаме, формулата, изразяваща закона, ви позволява да намерите силата, като знаете промяната в дължината на тялото, или, като знаете еластичната сила, измервате промяната в дължината:

Също така в някои случаи можете да намерите коефициента на еластичност. За да разберете как се прави това, разгледайте примерна задача:

Към пружината е свързан динамометър. Той беше разтегнат чрез прилагане на сила 20, поради което стана дълъг 1 метър. След това я пуснаха, изчакаха докато вибрациите спрат и тя се върна в нормалното си състояние. В нормално състояние дължината му беше 87,5 сантиметра. Нека се опитаме да разберем от какъв материал е направена пружината.

Нека намерим числената стойност на деформацията на пружината:

От тук можем да изразим стойността на коефициента:

Разглеждайки таблицата, можем да установим, че този индикатор съответства на пружинна стомана.

Проблем с коефициента на еластичност

Физиката, както знаем, е много точна наука, освен това е толкова точна, че е създала цели приложни науки, които измерват грешките. Модел на непоколебима прецизност, тя не може да си позволи да бъде тромава.

Практиката показва, че линейната зависимост, която разгледахме, не е нищо повече от Закон на Хук за тънък и опънат прът.Само по изключение може да се използва за пружини, но и това е нежелателно.

Оказва се, че коефициентът k е променлива стойност, която зависи не само от материала, от който е направено тялото, но и от диаметъра и неговите линейни размери.

Поради тази причина нашите заключения изискват пояснение и развитие, защото в противен случай формулата:

може да се нарече нищо повече от зависимост между три променливи.

Модул на Юнг

Нека се опитаме да намерим коефициента на еластичност. Този параметър, както разбрахме, зависи от три величини:

• материал (който ни устройва доста);
• дължина L (което показва зависимостта му от);
• площ С.

важно!Така, ако успеем по някакъв начин да „отделим“ дължината L и площта S от коефициента, тогава ще получим коефициент, който напълно зависи от материала.

Какво знаем:

• колкото по-голяма е площта на напречното сечение на тялото, толкова по-голям е коефициентът k и зависимостта е линейна;
• колкото по-дълго е тялото, толкова коефициентът k е по-нисък, а зависимостта е обратно пропорционална.

Това означава, че можем да запишем коефициента на еластичност по следния начин:

където E е нов коефициент, който сега зависи точно от вида на материала.

Нека въведем понятието „относително удължение“:

. 

Заключение

Нека формулираме закона на Хук за опън и компресия: При малки компресии нормалното напрежение е право пропорционално на удължението.

Коефициентът E се нарича модул на Юнг и зависи единствено от материала.

2.6. Издръжливост на опън

2.7. Състояние на якост

3. Вътрешни силови фактори (vsf)

3.1. Случаят на въздействие на външни сили в една равнина

3.2. Основни зависимости между линейна сила q, сила на срязване Qy и огъващ момент Mx

Това води до връзка, наречена първо уравнение на равновесието на елемента на гредата

4. VSF диаграми

5. Правила за наблюдение на изграждането на диаграми

6. Общ случай на напрегнато състояние

6.1.Нормални и тангенциални напрежения

6.2. Закон за сдвояването на допирателните напрежения

7. Деформации

8. Основни допускания и закони, използвани в съпротивлението на материалите

8.1. Основни допускания, използвани в якостта на материалите

8.2. Основни закони, използвани в съпротивлението на материалите

При наличие на температурна разлика телата променят размера си и то правопропорционално на тази температурна разлика.

9. Примери за използване на законите на механиката за изчисляване на строителни конструкции

9.1. Изчисляване на статически неопределени системи

9.1.1. Статично неопределена стоманобетонна колона

9.1.2 Температурни напрежения

9.1.3. Монтажни напрежения

9.1.4. Изчисляване на колона с помощта на теорията на граничното равновесие

9.2. Характеристики на температурните и монтажните напрежения

9.2.1. Независимост на температурните напрежения от размера на тялото

9.2.2. Независимост на монтажните напрежения от размерите на тялото

9.2.3. Относно температурата и монтажните напрежения в статично детерминирани системи

9.3. Независимост на крайното натоварване от самоуравновесени начални напрежения

9.4. Някои характеристики на деформацията на пръти при опън и компресия, като се вземе предвид гравитацията

9.5. Изчисляване на конструктивни елементи с пукнатини

Процедура за изчисляване на тела с пукнатини

9.6. Изчисляване на конструкции за дълготрайност

9.6.1. Устойчивост на стоманобетонна колона при наличие на пълзене на бетона

9.6.2. Условие за независимост на напрежението от времето в конструкции от вискоеластични материали

9.7 Теория за натрупване на микроповреди

10. Изчисляване на коравината на пръти и стърнищни системи

Композитни барове

Прътови системи

10.1. Формула на Мор за изчисляване на преместването на конструкция

10.2. Формула на Мор за прътови системи

11. Модели на материално унищожаване

11.1. Закономерности на сложното напрегнато състояние

11.2. Зависимост от тангенциални напрежения

11.3. Основни напрежения

Изчисляване

11.4. Видове материални разрушения

11.5.Теории за краткосрочната сила

11.5.1.Първа теория за якостта

11.5.2.Втора теория на якостта

11.5.3 Трета теория на якостта (теория на максималните тангенциални напрежения)

11.5.4. Четвърта теория (енергия)

11.5.5. Пета теория – критерият на Мор

12. Кратко резюме на якостните теории в проблемите на якостта на материалите

13. Изчисляване на цилиндрична обвивка под въздействието на вътрешно налягане

14. Отказ от умора (циклична якост)

14.1. Изчисляване на конструкции при циклично натоварване с помощта на диаграмата на Wöhler

14.2. Изчисляване на конструкции при циклично натоварване с помощта на теорията на развиващите се пукнатини

15. Огъване на греди

15.1. Нормални напрежения. Формула Навие

15.2. Определяне на позицията на неутралната линия (ос х) в сечение

15.3 Съпротивителен момент

15.4 Грешка на Галилей

15.5 Напрежения на срязване в греда

15.6. Тангенциални напрежения в фланеца на I-лъча

15.7. Анализ на формули за напрежения

15.8. Ефект на Емерсън

15.9. Парадокси на формулата на Журавски

15.10. Относно максималните напрежения на срязване (τzy)max

15.11. Изчисления на якостта на гредата

1. Счупване по счупване

2. Разрушаване чрез срязване (разслояване).

3. Изчисляване на гредата по главни напрежения.

4. Изчисляване по III и IV теории за якост.

16. Изчисляване на гредите за коравина

16.1. Формула на Мор за изчисляване на деформацията

16.1.1 Методи за изчисляване на интеграли. Формули на трапец и Симпсън

Трапецова формула

Формулата на Симпсън

. Изчисляване на деформациите въз основа на решаването на диференциалното уравнение на извитата ос на гредата

16.2.1 Решение на диференциалното уравнение за кривата ос на греда

16.2.2 Правила на Clebsch

16.2.3 Условия за определяне на c и d

Пример за изчисляване на деформация

16.2.4. Греди на еластична основа. Закон на Винклер

16.4. Уравнение на кривата ос на греда върху еластична основа

16.5. Безконечна греда на еластична основа

17. Загуба на стабилност

17.1 Формула на Ойлер

17.2 Други условия за закрепване.

17.3 Изключителна гъвкавост. Дълъг прът.

17.4 Формула на Ясински.

17.5 Изкълчване

18. Усукване на валове

18.1. Усукване на кръгли валове

18.2. Напрежения в сеченията на вала

18.3. Изчисляване на твърдостта на вала

18.4. Свободно усукване на тънкостенни пръти

18.5. Напрежения при свободно усукване на тънкостенни пръти със затворен профил

18.6. Ъгъл на усукване на тънкостенни пръти от затворен профил

18.7. Усукване на отворени профилни пръти

19. Сложна деформация

19.1. Диаграми на факторите на вътрешната сила (vsf)

19.2. Напрежение с огъване

19.3. Максимални напрежения на опън и огъване

19.4 Наклонен завой

19.5. Проверка на якостта на кръгли пръти по време на усукване и огъване

19.6 Ексцентрична компресия. Секция ядро

19.7 Конструкция на ядрото на секцията

20. Динамични задачи

20.1. Хит

20.2 Обхват на приложение на формулата за динамичния коефициент

Изразяване на коефициента на динамичност чрез скоростта на удрящото тяло

20.4. принцип на д'Аламбер

20.5. Вибрации на еластични пръти

20.5.1. Безплатни вибрации

20.5.2. Принудителни вибрации

Начини за справяне с резонанса

20.5.3 Принудени вибрации на прът с демпфер

21. Теорията на граничното равновесие и нейното използване в структурните изчисления

21.1. Проблем с огъване на гредата Граничен момент.

21.2. Приложение на теорията на граничното равновесие за изчисляване

Литература

Съдържание

8.2. Основни закони, използвани в съпротивлението на материалите

Статични отношения. Те се записват под формата на следните уравнения на равновесието.

Закон на Хук ( 1678): колкото по-голяма е силата, толкова по-голяма е деформацията и освен това е право пропорционална на силата. Физически това означава, че всички тела са пружини, но с голяма твърдост. Когато една греда е просто опъната от надлъжна сила н= Етози закон може да се напише като:

Тук
надлъжна сила, л- дължина на лъча, А- неговата площ на напречното сечение, д- коефициент на еластичност от първи род ( Модул на Юнг).

Като се вземат предвид формулите за напрежения и деформации, законът на Хук е написан, както следва:
.

Подобна връзка се наблюдава при експерименти между тангенциалните напрежения и ъгъла на срязване:

.

Ж Нареченмодул на срязване , по-рядко – модул на еластичност от втори род. Като всеки закон, законът на Хук също има граница на приложимост. Волтаж
, до която е валиден законът на Хук, се нарича граница на пропорционалност(това е най-важната характеристика на здравината на материалите).

Нека изобразим зависимостта  от  графично (фиг. 8.1). Тази снимка се нарича диаграма на разтягане . След точка Б (т.е
) тази зависимост престава да бъде линейна.

При
след разтоварване се появяват остатъчни деформации в тялото, следователно Наречен еластична граница .

Когато напрежението достигне стойността σ = σ t, много метали започват да проявяват свойството, наречено течливост. Това означава, че дори при постоянно натоварване материалът продължава да се деформира (т.е. държи се като течност). Графично това означава, че диаграмата е успоредна на абсцисата (участък DL). Напрежението σ t, при което тече материалът, се нарича провлачване .

Някои материали (St. 3 - строителна стомана) след кратко течение започват отново да се съпротивляват. Съпротивлението на материала продължава до определена максимална стойност σ pr, след което започва постепенно разрушаване. Величината σ пр се нарича издръжливост на опън (синоним на стомана: якост на опън, за бетон - кубична или призматична якост). Използват се и следните обозначения:

=Р b

Подобна връзка се наблюдава при експерименти между напреженията на срязване и срязването.

3) Закон на Дюамел–Нойман (линейно температурно разширение):

При наличие на температурна разлика телата променят размера си и то правопропорционално на тази температурна разлика.

Нека има температурна разлика
. Тогава този закон изглежда така:

Тук α - коефициент на линейно термично разширение, л - дължина на пръта, Δ л- неговото удължаване.

4) Закон за пълзенето .

Изследванията показват, че всички материали са силно разнородни в малки площи. Схематичната структура на стоманата е показана на фиг. 8.2.

Някои от компонентите имат свойствата на течност, така че много материали под натоварване получават допълнително удължение с времето
(фиг. 8.3.) (метали при високи температури, бетон, дърво, пластмаси - при нормални температури). Това явление се нарича пълзенематериал.

Законът за течностите е: колкото по-голяма е силата, толкова по-голяма е скоростта на движение на тялото в течността. Ако тази връзка е линейна (т.е. силата е пропорционална на скоростта), тогава тя може да се запише като:

д
Ако преминем към относителните сили и относителните удължения, получаваме

Ето индекса " кр " означава, че се взема предвид частта от удължението, причинена от пълзенето на материала. Механични характеристики наречен коефициент на вискозитет.

Закон за запазване на енергията.

Помислете за натоварена греда

Нека въведем концепцията за преместване на точка, например,

- вертикално движение на точка B;

- хоризонтално изместване на точка С.

правомощия
докато върши някаква работа U. Като се има предвид, че силите
започват да нарастват постепенно и приемайки, че те нарастват пропорционално на преместванията, получаваме:

.

Според закона за опазване: нито една работа не изчезва, тя се изразходва за извършване на друга работа или се превръща в друга енергия (енергия- това е работата, която тялото може да извърши.).

Работа на силите
, се изразходва за преодоляване на съпротивлението на еластичните сили, възникващи в тялото ни. За да изчислим тази работа, ние вземаме предвид, че тялото може да се счита, че се състои от малки еластични частици. Нека разгледаме един от тях:

Той е обект на напрежение от съседни частици . Полученият стрес ще бъде

Под влиянието частицата ще се удължи. Според дефиницията, удължението е удължението за единица дължина. Тогава:

Нека изчислим работата dW, което силата прави dN (тук също така се взема предвид, че силите dNзапочват да нарастват постепенно и нарастват пропорционално на движенията):

За цялото тяло получаваме:

.

работа Укоето е извършено , Наречен енергия на еластична деформация.

Според закона за запазване на енергията:

6)Принцип възможни движения .

Това е един от вариантите за написване на закона за запазване на енергията.

Нека сили действат върху гредата Е 1 , Е 2 , … . Те карат точките да се движат в тялото
и напрежение
. Да дадем тялото допълнителни малки възможни движения
. В механиката, обозначение на формата
означава фразата „възможна стойност на количеството А" Тези възможни движения ще предизвикат тялото възможни допълнителни деформации
. Те ще доведат до появата на допълнителни външни сили и напрежения
, δ.

Нека изчислим работата на външните сили върху допълнителни възможни малки премествания:

Тук
- допълнителни движения на онези точки, в които се прилагат сили Е 1 , Е 2 , …

Помислете отново за малък елемент с напречно сечение dA и дължина дз (виж фиг. 8.5. и 8.6.). Според дефиницията допълнително удължение  дзот този елемент се изчислява по формулата:

дз=  дз.

Силата на опън на елемента ще бъде:

dN = (+δ) dA ≈  dA..

Работата на вътрешните сили върху допълнителните премествания се изчислява за малък елемент, както следва:

dW = dN  dz = dA dz =  dV

СЪС
сумирайки енергията на деформация на всички малки елементи, получаваме общата енергия на деформация:

Закон за запазване на енергията У = Uдава:

.

Това съотношение се нарича принцип на възможните движения(нарича се още принцип на виртуални движения).По същия начин можем да разгледаме случая, когато действат и срязващи напрежения. Тогава можем да получим това за енергията на деформация Уще бъде добавен следният термин:

Тук  е напрежението на срязване,  е преместването на малкия елемент. Тогава принцип на възможните движенияще приеме формата:

За разлика от предишната форма на писане на закона за запазване на енергията, няма допускане, че силите започват да нарастват постепенно и те нарастват пропорционално на преместванията

7) Ефект на Поасон.

Нека разгледаме модела на удължаване на пробата:

Феноменът на съкращаване на елемент на тялото през посоката на удължаване се нарича Ефект на Поасон.

Нека намерим надлъжната относителна деформация.

Напречната относителна деформация ще бъде:

Коефициент на Поасонколичеството се нарича:

За изотропни материали (стомана, чугун, бетон) коефициент на Поасон

Това означава, че в напречна посока деформацията по-малконадлъжно

Забележка : съвременните технологии могат да създават композитни материали с коефициент на Поасон >1, тоест напречната деформация ще бъде по-голяма от надлъжната. Например, такъв е случаят с материал, подсилен с твърди влакна под нисък ъгъл
<<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине
, т.е. по-малкото , толкова по-голям е коефициентът на Поасон.

Фиг.8.8. Фиг.8.9

Още по-изненадващ е материалът, показан на (Фиг. 8.9.), а за такова усилване има парадоксален резултат - надлъжното удължаване води до увеличаване на размера на тялото в напречна посока.

8) Обобщен закон на Хук.

Нека разгледаме елемент, който се простира в надлъжна и напречна посока. Нека намерим деформацията, която възниква в тези посоки.

Нека изчислим деформацията произтичащи от действие :

Нека разгледаме деформацията от действието , което възниква в резултат на ефекта на Поасон:

Общата деформация ще бъде:

Ако е валидно и , тогава ще бъде добавено още едно скъсяване по посока на оста x
.

Следователно:

По същия начин:

Тези отношения се наричат обобщен закон на Хук.

Интересно е, че когато се пише законът на Хук, се прави предположение за независимостта на деформациите на удължение от деформациите на срязване (за независимост от напреженията на срязване, което е едно и също нещо) и обратно. Експериментите добре потвърждават тези предположения. Гледайки напред, отбелязваме, че силата, напротив, силно зависи от комбинацията от тангенциални и нормални напрежения.

Забележка: Горните закони и предположения се потвърждават от многобройни преки и косвени експерименти, но, както всички други закони, те имат ограничен обхват на приложение.