Dodekaedar je trodimenzionalna figura koja se sastoji od dvanaest pentagona. Da biste dobili ovu figuru, prvo morate nacrtati njen razvoj na debelom papiru, a zatim ga sastaviti od ovog razvoja u prostoru.

Trebaće ti

• – debeli papir;
• - olovka;
• – kompas;
• - vladar;
• – kvadrat;
• – komad tanke žice;
• - makaze;
• - ljepilo.

Instrukcije

1. Počnite crtanjem središnjeg pozitivnog petougla. Da biste to učinili, nacrtajte krug pomoću kompasa. Nacrtajte prečnik kroz njegov centar. Sada ga treba podijeliti na tri dijela. Postoji teorema koja dokazuje da je trisekcija (tj. raspodjela segmenta ili ugla na tri identična dijela) pomoću ravnala bez podjela i šestara nezamisliva. Stoga, ili izmjerite prečnik ravnalom i podijelite ga na tri, a zatim označite odgovarajuće tačke na njemu prema podjelama ravnala, ili ga izmjerite komadom tanke žice, presavijte na tri, pa ispravite, stavite ga na prečnik i označite tačke na krivinama.

2. Kao rezultat podjele promjera na tri dijela, dobit ćete dvije točke na njemu. Kroz jedan od njih povucite okomitu kutu na promjer pomoću kvadrata. Presijecat će krug na 2 mjesta. Iz svakog od njih nacrtajte zrak koji prolazi kroz drugu tačku na promjeru. Oni će preseći krug na još 2 mesta, a peto mesto preseka čini sam prečnik. Ostaje samo da ih kombinujete jedno s drugim i dobit ćete pozitivan pentagon upisan u krug.

3. Koristeći istu metodu, nacrtajte još jedanaest peterokuta, raspoređujući ih tako da formiraju figuru sličnu onoj prikazanoj na slici. Nacrtajte male latice sa strane kako biste lakše lijepili. Nakon toga ga izrežite i zalijepite. Šta bi se na kraju trebalo dogoditi prikazano je na ilustraciji u naslovu članka.

4. Budući da dodekaedar ima tačno dvanaest lica, moguće je izraditi obimne, stabilne stolne kalendare u obliku ove figure. Da biste to učinili, prvo napravite kalendar za mjesec dana na svim licima, a tek nakon toga izrežite i zalijepite figuru. Takav kalendar možete generirati i mehanički klikom na link ispod. Godina će biti određena mehanički pomoću sata ugrađenog u server, a jezik za nazive mjeseci i dana u sedmici će biti određen postavkama vašeg pretraživača.

Dodecahedron naziva se pozitivnim poliedar, čija su lica dvanaest pozitivnih pentagona. Najjednostavniji pozitivni poliedar za konstruiranje je heksaedar ili kocka svi ostali poliedri mogu se konstruirati upisivanjem ili opisom oko njega. Dodekaedar se može konstruisati opisivanjem oko kocke.

Instrukcije

1. Konstruirajte kocku dužine ivice a. Izračunajte dužinu dodekaedra u izgradnji koristeći formulu: m = -a/2 +av5/2, gdje je a dužina ivice kocke.

2. Na rubu SPRQ, nacrtajte liniju K1L1 koja povezuje sredine rubova. Na ovoj liniji položite segment dužine m, jednako udaljen od ivica kocke. Nacrtajte okomite kroz krajeve segmenta na lice SPRQ.

3. Konstruirajte petougao ABCDE sa dijagonalama AC i BE. AB = BC = a. Izračunajte visinu trougla ABC i označite ga s = BN.

4. Nađite tačke na okomicama, rastojanje od kojih je do središta ivica jednako s, tj. LL1 = KK1 = s. Kombinujte sada otkrivene tačke sa vrhovima kocke.

5. Ponovite konstrukcije 2 i 4 za svako lice, kao rezultat ćete dobiti pozitivan poliedar opisan oko kocke - dodekaedar.

Video na temu

Dodekaedar je pravilan poliedar sastavljen od dvanaest pravilnih pentagona. Ova spektakularna trodimenzionalna figura ima centar simetrije koji se naziva središte dodekaedra. Osim toga, sadrži petnaest ravni simetrije (u svakom licu, bilo koja od njih prolazi kroz sredinu suprotne ivice i vrh) i petnaest osi simetrije (presijecaju sredine paralelnih suprotnih ivica). Svaki od vrhova dodekaedra je vrh tri pentagona pravilnog oblika.

Dizajn je dobio ime po broju lica uključenih u njega (tradicionalno, stari Grci su poliedrima davali imena koja odražavaju broj lica koja čine strukturu figure). Dakle, pojam "dodekaedar" formiran je od značenja dvije riječi: "dodeca" (dvanaest) i "hedra" (lice). Figura pripada jednom od pet Platonovih tijela (zajedno sa tetraedrom, oktaedrom, heksaedrom (kockom) i). Zanimljivo, prema brojnim istorijskim dokumentima, sve su ih stanovnici aktivno koristili Ancient Greece u obliku stolnih kockica i izrađene su od širokog spektra materijala.

Pravilni poliedri oduvijek su privlačili ljude svojom ljepotom, organskom prirodom i izvanrednim savršenstvom oblika, ali dodekaedar ima posebnu povijest, koja iz godine u godinu dobiva nove, ponekad potpuno mistične činjenice. Predstavnici mnogih civilizacija u tome su vidjeli natprirodnu i misterioznu suštinu, tvrdeći da: “Mnoge stvari rastu iz broja dvanaest.” Na teritorijama drevnih uništenih država i danas se nalaze male figurice u obliku dodekaedara od bronce, kamena ili kosti. Osim toga, tokom iskopavanja u zemljama moderne Engleske, Francuske, Njemačke, Mađarske i Italije, arheolozi su otkrili nekoliko stotina takozvanih "rimskih dodekaedara" koji datiraju iz 2.-3. stoljeća nove ere. Glavne dimenzije figura kreću se od četiri do jedanaest centimetara, a odlikuju se najnevjerovatnijim šarama, teksturama i tehnikama izvođenja. Verzija iznesena još u Platonovo doba da je Univerzum ogroman dodekaedar potvrđena je početkom 21. vijeka. Nakon detaljne analize podataka dobijenih pomoću WMAP-a (NASA-ine multifunkcionalne svemirske letjelice), naučnici su se složili sa pretpostavkom starogrčkih astronoma, matematičara i fizičara, koji su se svojevremeno bavili proučavanjem nebeske sfere i njene strukture. Štoviše, moderni istraživači vjeruju da je naš svemir beskonačno ponavljajući skup dodekaedara.

Kako napraviti pravi dodekaedar vlastitim rukama

Danas se dizajn ove figure ogleda u mnogim oblicima umjetničkog stvaralaštva, arhitekture i konstrukcije. Narodni majstori izrađuju neobično lijep origami u obliku ažurnih dodekaedara od obojenog ili bijelog papira, a prave originalne od kartona itd.). Dostupan za prodaju gotovi kompleti, koji sadrži sve što je potrebno za izradu suvenira, ali najzanimljivije je cijeli proces rada odraditi vlastitim rukama, od izgradnje pojedinih dijelova do sklapanja gotove konstrukcije.

Materijali:

Da biste napravili običan dodekaedar od kartona, potreban vam je sam materijal i dostupni alati:

• makaze,
• olovka,
• gumica,
• vladar,
• ljepilo.

Dobro je imati tupi nož ili neku spravu za savijanje šavova, ali ako ih nemate, onda će vam odgovarati metalni ravnalo ili iste makaze.

Kako napraviti zvjezdani dodekaedar

Zvjezdani dodekaedri imaju složeniju strukturu u odnosu na obične. Ovi poliedri se dijele na male (prvog produžetka), srednje (drugog produžetka) i velike (posljednji zvjezdasti oblik pravilnog dodekaedra). Svaki od njih ima svoje karakteristike dizajna i montaže. Za rad će vam trebati isti materijali i alati kao za izradu standardnog dodekaedra. Ako odlučite napraviti prvu opciju (mali dodekaedar), tada morate napraviti crtež prvog elementa, koji će postati osnova za cijelu strukturu (kasnije će biti zalijepljen ili sastavljeni dijelovi pomoću spajalica).

Dodekaedar je poliedar koji se sastoji od 12 identičnih pentagona. Ovo je osnovna figura za mnoge zanate: od stolnih kalendara do otvorenih visećih lampiona.

Postoje i druge metode. Na primjer, pentagon se može konstruirati pomoću kutomjera, ali to ne garantuje tačnost. Najlakši način je uzeti gotov dijagram, odštampajte ga i koristite ovaj "šablon" da napravite zanat od odgovarajućeg papira. Ali ova metoda, unatoč svojoj jednostavnosti, nije uvijek prikladna - jer ponekad trebate napraviti dodekaedar određene veličine. Možete povećati jedan petougao na željenu skalu i ispisati samo njega, a zatim napraviti figuru prema dijagramu ispod.

Ali „obrazac“ još nije gotov zanat. Kako napraviti dodekaedar od papira? Za ovo će vam trebati:

1. Papir odgovarajuće gustine. Ne smije biti ni pretanak ni predebeo - najbolje 220 g/m², upravo to je gustina kartona koji se prodaje u dječjim setovima. Iako je sasvim moguće stvoriti od debelog kartona volumetrijske figure, samo treba prethodno obraditi sve nabore - lagano iseći ili dobro pritisnuti da se dobro i ravnomjerno savijaju.

2. Makaze, igla za pletenje ili nož

Savjeti za pravljenje dodekaedra

Preporučljivo je lagano pritisnuti papir na pregibima iglom za pletenje, tupom stranom ili nečim oštrim, ali ne rezati. Uredno, ravnomerno savijanje je pola uspeha.

Ako nema ljepila pri ruci, dodekaedar se može sastaviti kao konstrukcioni set tako što ćete napraviti rezove duž nabora, a zatim jednostavno umetnuti strane jednu u drugu.

Ako sastavljate dodekaedar modularnom tehnikom (upute u nastavku), onda je preporučljivo spojeve zalijepiti ili učvrstiti spajalicama, jer će konstrukcija postati stabilna tek nakon što se zadnji modul učvrsti.

Dodekaedar tehnikom origami

Origami modul je odlična osnova za dodekaedar. Kako napraviti dodekaedar od papira pomoću modularne tehnologije? Trebat će vam 30 pravokutnih ili kvadratni listovi papir. Svaki od listova je presavijen na pola, a zatim svaku polovicu treba saviti u suprotnom smjeru - dobivate "harmoniku" u četiri nabora. Ponekad, ako list nije pravougaoni, prave "harmoniku" u tri nabora. Kao rezultat, imate usku traku pro-uglja u svojim rukama. Zatim, sa svake strane pravokutnika duž uske strane, trebate saviti kut. Uglovi se savijaju u jednom smjeru - to su budući pričvršćivači koji će biti uvučeni u harmoniku. Zatim savijte modul prema unutra dijagonalno od malih bočnih uglova. Dakle, jedan modul za origami dodekaedar je trodimenzionalan, uključuje dvije ivice buduće figure i uglove. Kada su svi moduli spremni, montaža može početi.

Montaža počinje s jednom jedinicom, za koju trebate uzeti tri modula. Na slici ispod su plavi, roze i žuti origami moduli. Dijagrami montaže su prilično jednostavni, a čak i početnici mogu lako nositi takve figure.

Koje se zanate mogu napraviti na osnovu dodekaedra?

Svaka strana papirnatog dodekaedra je ravan pentagon, koji sam po sebi može biti osnova za široku lepezu bizarnih oblika. Na primjer, na fotografiji ispod pentagon je zamijenjen zvijezdom petokrakom. Na takvoj figuri nema rebara, iako bi trebalo. Kako napraviti dodekaedar od papira u obliku zvijezde? U gore prikazanom razvoju, zamijenite svaki petougao traženom petokrakom i povežite ih ne duž rubova, već na vrhovima.

Ova fotografija prikazuje zvezdasti dodekaedar. Svaka "zraka" je zasnovana na istom pentagonu.

Umjesto peterokutnih piramida može se napraviti bilo koja trodimenzionalna figura.

Na fotografiji ispod peterokuti su složeniji origami moduli, čiji se dijagrami za one koji su zainteresirani za ovu tehniku ​​mogu pronaći u specijalizovanoj literaturi.

U svakom slučaju, čak i savladavanje najjednostavnija šema Sastavljanje dodekaedra već će pružiti ogromne mogućnosti za kreativnost i pronalaženje vlastitih opcija.

Trebaće ti

• - debeli papir;
• - olovka;
• - kompas;
• - vladar;
• - kvadrat;
• - komad tanke žice;
• - makaze;
• - ljepilo.

Instrukcije

Počnite crtanjem središnjeg. Da biste to učinili, nacrtajte krug pomoću kompasa. Nacrtajte prečnik kroz njegov centar. Sada ga treba podijeliti na tri dijela. Postoji teorema koja dokazuje da se trisekcija (tj. dijeljenje segmenta ili ugla na tri) pomoću ravnala bez podjela i šestara. Stoga ili izmjerite prečnik ravnalom i podijelite ga sa tri, a zatim označite odgovarajuće tačke na njemu prema podjelama ravnala, ili ga izmjerite komadom tankog papira, presavijte ga na tri, a zatim ispravite, položite ga na prečnik i označite tačke na preklopima.

Kao rezultat podjele promjera na tri dijela, na njemu će se dobiti dvije točke. Kroz jedan od njih povucite okomitu kutu na promjer pomoću kvadrata. Presijecat će krug na dva mjesta. Iz svakog od njih nacrtajte zrak koji prolazi kroz drugu tačku na promjeru. Oni će preseći krug na još dva mesta, a peto mesto preseka čini sam prečnik. Ostaje samo da ih povežete i dobićete običan, upisan u krug.

Na isti način nacrtajte još jedanaest peterokuta, poređajući ih tako da formiraju figuru sličnu onoj prikazanoj na slici. Nacrtajte male latice sa strane kako biste lakše lijepili. Zatim ga izrežite i zalijepite zajedno. Kakav bi trebao biti rezultat prikazano je na ilustraciji u naslovu članka.

Budući da dodekaedar ima tačno dvanaest lica, trodimenzionalni, stabilni stolni kalendari mogu se napraviti u obliku ove figure. Da biste to učinili, prvo napravite kalendar za mjesec dana na svakom od lica, a tek onda izrežite i zalijepite figuru. Takav kalendar možete generirati i automatski klikom na link ispod. Godina će se automatski odrediti na osnovu ugrađenog sata servera, a jezik za nazive mjeseci i dana u sedmici - na osnovu postavki vašeg pretraživača.

Izvori:

• Generator kalendara u obliku dodekaedra
• kako napraviti pravilan dodekaedar

Stereometrija je, kao dio geometrije, mnogo svjetlija i zanimljivija upravo zato što figure ovdje nisu planarne, već trodimenzionalne. Brojni problemi zahtijevaju izračunavanje parametara paralelepipeda, konusa, piramida i drugih trodimenzionalnih figura. Ponekad se poteškoće javljaju već u fazi izgradnje, koje se lako mogu eliminirati ako slijedite jednostavne principe stereometrije.

Trebaće ti

• - vladar;
• - olovka;
• - kompas;
• - kutomjer

Instrukcije

Odlučite se o broju lica, kao io broju uglova u poligonima samih lica ispred. Ako uvjet govori o pravilnom poliedru, onda ga izgradite tako da bude konveksan (ne izlomljen), tako da ivice budu pravilni mnogouglovi, a isti broj ivica konvergira na svakom vrhu trodimenzionalne figure.

Zapamtite posebne poliedre za koje postoje stalne karakteristike:
- tetraedar se sastoji od trouglova, ima 4 vrha, 6 ivica koje konvergiraju u vrhovima u 3, kao i 4 lica;
- hesaedar, ili kocka, sastoji se od kvadrata, ima 8 vrhova, 12 ivica koje konvergiraju u 3 na vrhovima, a također;
- oktaedar se sastoji od trouglova, ima 6 vrhova, 12 ivica, 4 uz vrhove i 8 lica;
- je dvanaestostrana figura koja se sastoji od peterokuta, sa 20 vrhova, kao i 30 ivica, 3 susedne vrhu;
-, zauzvrat, ima 20 trokutastih lica, 30 ivica, 5 susednih svakom od 12 vrhova.

Počnite konstruirati s paralelnim linijama ako su ivice poliedra paralelne. Ovo se odnosi na paralelepiped,

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Razvojna i edukativna pomagala u internet prodavnici "Integral"
Simulator prema Moro M.I. Simulator prema Petersonu L.G.

Iz istorije dodekaedra

Svi koji su išli u školu su učili geometriju, neki su je voleli, neki ne toliko, a neki tek treba da se upoznaju sa ovom naukom. I, naravno, svi su bili zamoljeni da nacrtaju ili sastave razne geometrijske oblike, a zatim se ocjenjivao najbolji rad. Ali, nažalost, ne govore svi nastavnici o porijeklu geometrijski oblici, zašto su potrebni, kakav je njihov značaj i gdje se koriste. I figure imaju veoma bogatu istoriju, važne su kao i svako otkriće u našem svetu. I nalaze se posvuda, samo ih ne primjećujemo uvijek. Danas ćemo vam pričati o dodekaedru.

Riječ dodekaedar je grčkog porijekla i sastoji se od 2 riječi: dodeka (dvanaest) i hedra (lice). Dodekaedar ima 12 lica, 20 vrhova, od kojih svaki ima 3 ivice i 30 ivica. Zbir ravnih uglova je 324°. Ovo je dodekaedar, koji se sastoji od dvanaest pravilnih pentagona. Dodekaedar je pravilan poliedar i ima tri zvezdasta oblika.

Dodekaedar je bio poznat još u antičko doba. Na primjer, učenicima Pitagorejske škole bilo je zabranjeno da ovu riječ izgovaraju van škole, jer bi zbog toga mogli izgubiti život. Ova figura je tretirana kao sveta figura, čak su se plašili da bilo šta kažu o njoj. Tek dvije stotine godina kasnije, za vrijeme Platona, počeli su vrlo pažljivo govoriti o ovoj figuri. Bilo je zabranjeno govoriti bilo šta nepotrebno, posebno uvredljivo ili omalovažavajuće. Vjerovali su da se dodekaedar nalazi u energetskom polju ljudi i da je najviši oblik ljudske svijesti. Osim toga, vjerovalo se da ljudi žive unutar ogromnog dodekaedra u kojem se nalazi naš svemir, a kada čovjekov um dostigne samu granicu prostora Kosmosa, naiđe na dodekaedar zatvoren u sferu.

Dodekaedar u našem životu

Gdje možete pronaći dodekaedar? Razmislite pažljivo! Vjerojatno su ga skoro svi vidjeli kao generator slučajnih brojeva, na primjer, na TV-u u loto igri ili u stolnim igrama. igre uloga. Dodekaedar se može naći u igrici "Pentacor", čiji je svijet predstavljen u obliku ove figure. I, naravno, svi su čuli za Pentagon, ova zgrada Ministarstva odbrane SAD-a ima oblik pravilnog pentagona.

U avgustu 2006. godine, prilikom mapiranja distribucije tamne materije u jatu galaksija, zaključeno je da naš Univerzum izgleda kao skup dodekaedara koji se beskrajno ponavljaju.

Pravilni poliedri oduvijek su privlačili pažnju savršenstvom svojih oblika i potpunom, naizgled nemogućem simetrijom. Neka od ovih tijela se javljaju u prirodi, na primjer u obliku kristala, druga mogu biti u obliku virusa ili protozoanskih mikroorganizama.

Možete sastaviti ovu nevjerovatnu figuru koristeći naše uzorke dodekaedara.

Izrada dodekaedra od papira ili kartona

Dijagram pravilnog dodekaedra	Dijagram dodekaedara sa formulama	Dijagram dodekaedra s velikim otkrićima čovječanstva