§4. Równoważne wzory TI i TL algebry logicznej. Podstawowe równoważności. (Prawa operacji logicznych). Prawo dualności.

Definicja.

Dwie formuły algebry logicznej A i B nazywane są RÓWNOWAŻNYMI, jeśli przyjmują te same wartości logiczne w dowolnym zestawie elementarnych instrukcji zawartych we wzorach. Równoważność wzorów będziemy oznaczać znakiem °, a zapis A °B oznacza, że ​​wzory A i B są równoważne.

Formuła A nazywana jest IDENTYCZNIE PRAWDZIWĄ (lub TAUTOLOGIĄ), jeśli przyjmuje wartość 1 dla wszystkich wartości zawartych w niej zmiennych.

Formuła nazywana jest IDENTYCZNIE FAŁSZYWĄ (lub KONTRADYCJĄ), jeśli przyjmuje wartość 0 dla wszystkich wartości zawartych w niej zmiennych.

Pomiędzy pojęciami równoważności i równoważności istnieje następujący związek: jeśli formuły A i B są równoważne, to formuła A”B jest tautologią i odwrotnie, jeśli formuła A”B jest tautologią, to formuły A i B są równoważne.

Najważniejsze równoważności algebry logiki można podzielić na trzy grupy.

1. Podstawowe równoważności.

Prawa idempotencji.

Prawo sprzeczności

Prawo wyłączonego środka

Prawo usuwania podwójnej negacji

prawa absorpcji

2. Równoważności wyrażające pewne operacje logiczne poprzez inne.

Tutaj 3, 4, 5, 6 to prawa Morgana.

Jest oczywiste, że równoważności 5 i 6 otrzymuje się odpowiednio z równoważności 3 i 4, jeśli weźmiemy negacje z obu części tej ostatniej i zastosujemy prawo usuwania podwójnych negacji.

Zatem pierwsze cztery równoważności wymagają dowodu. Udowodnijmy jeden z nich: pierwszy.

Ponieważ przy tych samych wartościach logicznych x i y formuły https://pandia.ru/text/78/396/images/image018.gif" szerokość="124" wysokość="21"> są prawdziwe. Dlatego w w tym przypadku obie części równoważności mają te same wartości prawdziwe.

Niech teraz x i y mają różne wartości logiczne. Wtedy równoważność i jedna z dwóch implikacji lub będzie fałszywa. Ale koniunkcja będzie również fałszywa .

Zatem w tym przypadku obie strony równoważności mają to samo znaczenie logiczne.

Równoważności 2 i 4 dowodzi się w podobny sposób.

Z równoważności tej grupy wynika, że ​​dowolny wzór w algebrze logicznej można zastąpić wzorem równoważnym zawierającym tylko dwie operacje logiczne: koniunkcję i negację lub alternatywę i negację.

Nie jest możliwa dalsza eliminacja operacji logicznych. Jeśli więc używamy tylko koniunkcji, to takiej formuły jak negacja nie da się wyrazić za pomocą operacji koniunkcji.

Istnieją jednak operacje, za pomocą których można wyrazić dowolną z pięciu operacji logicznych, których używamy. Taką operacją jest na przykład operacja „udar Schaeffera”. Operacja ta jest oznaczona symbolem ½ lewej strony " style="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt">

Prawa algebry zdań

Algebra zdań (algebra logiki) to sekcja logiki matematycznej, która bada operacje logiczne na zdaniach i zasady przekształcania złożonych zdań.

Podczas rozwiązywania wielu problemy logiczne Często konieczne jest uproszczenie otrzymanych wzorów poprzez sformalizowanie ich warunków. Uproszczenie wzorów w algebrze zdań odbywa się w oparciu o równoważne przekształcenia w oparciu o podstawowe prawa logiczne.

Prawa algebry zdań (algebra logiki) - to są tautologie.

Czasami prawa te nazywane są twierdzeniami.

W algebrze zdań prawa logiczne wyrażane są w postaci równości równoważnych formuł. Wśród praw wyróżniają się te, które zawierają jedną zmienną.

Pierwsze cztery poniższe prawa to podstawowe prawa algebry zdań.

Prawo tożsamości:

A=A

Każde pojęcie i sąd są sobie identyczne.

Prawo tożsamości oznacza, że ​​w procesie rozumowania nie można zastąpić jednej myśli inną, jednego pojęcia innym. W przypadku naruszenia tego prawa możliwe są błędy logiczne.

Na przykład słuszne jest rozumowanie, że mówią, że język zabierze cię do Kijowa, ale wczoraj kupiłem wędzony język, co oznacza, że ​​​​teraz mogę bezpiecznie pojechać do Kijowa niepoprawnie, ponieważ pierwsze i drugie słowo „język” oznacza różne pojęcia.

W rozumowaniu: Ruch jest wieczny. Chodzenie do szkoły to ruch. W związku z tym, idąc do szkoły na zawsze, słowo „ruch” używane jest w dwóch różnych znaczeniach (pierwszym – w sens filozoficzny– jako cecha materii, druga – w potocznym znaczeniu – jako działanie poruszania się w przestrzeni), co prowadzi do fałszywego wniosku.

Prawo niesprzeczności :

W tym samym momencie zdanie może być prawdziwe lub fałszywe, trzeciej opcji nie ma. Albo A jest prawdziwe, albo nie. A. Przykłady spełnienia prawa wyłączonego środka:

1. Liczba 12345 jest parzysta lub nieparzysta, trzeciej opcji nie ma.

2. Spółka działa ze stratą lub progiem rentowności.

3. Ta ciecz może, ale nie musi, być kwasem.

Prawo wyłączonego środka nie jest prawem uznawanym przez wszystkich logików za uniwersalne prawo logiki. Prawo to ma zastosowanie tam, gdzie poznanie ma do czynienia ze sztywną sytuacją: „albo – albo”, „prawda-fałsz”. Tam, gdzie pojawia się niepewność (na przykład w rozumowaniu dotyczącym przyszłości), często nie można zastosować prawa wyłączonego środka.

Rozważmy następujące stwierdzenie: To zdanie jest fałszywe. Nie może być prawdą, ponieważ stwierdza, że ​​jest fałszywe. Ale to też nie może być fałszywe, bo wtedy byłoby prawdziwe. To stwierdzenie nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe, a zatem narusza prawo wyłączonego środka.

Paradoks (gr. paradoxos – nieoczekiwany, dziwny) w tym przykładzie wynika z faktu, że zdanie odnosi się do siebie. Innym dobrze znanym paradoksem jest problem fryzjerów: w jednym mieście fryzjer strzyże włosy wszystkim mieszkańcom, z wyjątkiem tych, którzy sami obcinają włosy. Kto strzyże włosy fryzjerowi? W logice ze względu na jej formalność nie jest możliwe uzyskanie formy takiego samoodnoszącego się stwierdzenia. To po raz kolejny potwierdza pogląd, że za pomocą algebry logiki nie da się wyrazić wszystkich możliwych myśli i argumentów. Pokażmy, jak na podstawie definicji równoważności zdań można otrzymać pozostałe prawa algebry zdań.

Na przykład ustalmy, co A jest równoważne (równoważne) (podwójna negacja A, tj. negacja negacji A). W tym celu zbudujemy tablicę prawdy:

Z definicji równoważności musimy znaleźć kolumnę, której wartości pokrywają się z wartościami kolumny A. Będzie to kolumna A.

W ten sposób możemy sformułować prawo podwójnej negacji:

Jeśli zanegowiesz instrukcję dwa razy, wynikiem będzie pierwotna instrukcja. Na przykład oświadczenie A = Matroskin - kat jest równoważne stwierdzeniu A = To nieprawda, że ​​Matroskin nie jest kotem.

W podobny sposób można wyprowadzić i zweryfikować następujące prawa:

Właściwości stałych:

Prawa idempotencji:

Nieważne, ile razy będziemy powtarzać: telewizor jest włączony, telewizor jest włączony, telewizor jest włączony… znaczenie tego stwierdzenia nie ulegnie zmianie. Podobnie, powtarzając to, na zewnątrz jest ciepło, na zewnątrz jest ciepło,… nie będzie ani o stopień cieplej.

Prawa przemienności:

A v B = B przeciwko A

A i B = B i A

Operandy A i B można zamieniać w operacjach alternatywy i koniunkcji.

Prawa skojarzeń:

ZA v(B v C) = (A v B) v C;

A i (B i C) = (A i B) i C.

Jeśli w wyrażeniu używana jest tylko operacja rozłączenia lub tylko operacja koniunkcji, możesz pominąć nawiasy lub ułożyć je dowolnie.

Prawa rozdzielcze:

A v (B i C) = (A v B) & (A v C)

(rozdzielność dysjunkcji
względem koniunkcji)

A i (B v C) = (A i B) v (A i C)

(rozdzielność spójnika
odnośnie dysjunkcji)

Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy jest podobne do prawa rozdzielności w algebrze, ale prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy nie ma analogii; obowiązuje tylko w logice. Dlatego konieczne jest udowodnienie tego. Dowód najwygodniej przeprowadzić za pomocą tabeli prawdy:

Prawa absorpcji:

A v (A i B) = A

A i (A v B) = A

Sam udowodnij prawa absorpcji.

Prawa De Morgana:

Słowne sformułowania praw De Morgana:

Reguła mnemoniczna: po lewej stronie tożsamości operacja negacji stoi nad całym stwierdzeniem. Po prawej stronie wydaje się, że się załamuje i nad każdym z prostych zdań stoi negacja, ale jednocześnie zmienia się operacja: rozłączenie na koniunkcję i odwrotnie.

Przykłady realizacji prawa De Morgana:

1) Stwierdzenie Nie jest prawdą, że znam arabski lub chiński, jest tożsame ze stwierdzeniem Nie znam języka arabskiego i nie znam chińskiego.

2) Stwierdzenie Nie jest prawdą, że odrobiłem lekcję i dostałem z niej złą ocenę, jest tożsame ze stwierdzeniem Albo nie odrobiłem lekcji, albo nie dostałem z niej złej oceny.

Zastąpienie operacji implikacji i równoważności

Operacje implikacji i równoważności czasami nie należą do operacji logicznych konkretnego komputera lub tłumacza z języka programowania. Jednak aby rozwiązać wiele problemów, operacje te są konieczne. Istnieją zasady zastępowania tych operacji ciągami operacji negacji, alternatywy i koniunkcji.

Zatem operację implikacji można zastąpić zgodnie z następującą regułą:

Istnieją dwie zasady zastępowania operacji równoważności:

Łatwo jest zweryfikować ważność tych wzorów, konstruując tablice prawdy dla prawej i lewej strony obu tożsamości.

Znajomość zasad zastępowania operacji implikacji i równoważności pomaga np. poprawnie skonstruować negację implikacji.

Rozważ następujący przykład.

Niech zostanie podane stwierdzenie:

E = Nie jest prawdą, że jeśli wygram konkurs, dostanę nagrodę.

Pozwalać A = Wygram konkurs,

B = Otrzymam nagrodę.

Następnie

Stąd, E = Wygram konkurs, ale nie otrzymam nagrody.

Matematyka dyskretna: logika matematyczna

Wykład 8

Minimalizacja funkcji boolowskich. Metoda Quine’a-McCluskeya

Prawa algebry Boole'a

W logika matematyczna zdefiniowano specjalną algebra, algebra Boole'a, zawierająca operacje mnożenia logicznego, dodawania logicznego i negacji (  , +, - ), która pozwala na identyczne przekształcenia wyrażeń logicznych. Prawa te obejmują

Prawo idempotencji (identyczności)

Prawo przemienności

a  b = b a

Prawo skojarzeń

za + (b + do) = (a + b) + do

za  (b  c) = (a  b)  do

Prawa rozdzielności

Rozdzielność koniunkcji względem alternatywy

A  (b + c) = a  b + a  do

Rozdzielność alternatywy względem spójnika

A + b  do = (a + b)  (a + c)

prawo podwójnej negacji

Prawa De Morgana

Prawa wchłaniania

za + za  b = za

a  (a + b) = a

Prawa definiujące działania ze stałymi logicznymi 0 i 1

za + 0 = za a  0 = 0	a+1=1 a  1 = a
1 = 0

Ważność wszystkich omówionych powyżej praw można łatwo udowodnić, na przykład, korzystając z tablic prawdy.
Dodatkowe prawa

Dodatkowe prawa algebry Boole'a są konsekwencjami praw podstawowych i są bardzo przydatne w uproszczeniu pisania funkcji logicznych.
Prawo wiązania

Dowód tej tożsamości przeprowadza się za pomocą pierwszej zasady rozdzielności:

Dowód tej tożsamości przeprowadza się za pomocą drugiej zasady rozdzielności:

Prawo Blake’a-Poreckiego

Stosując prawa działania ze stałymi logicznymi, idempotencją i sklejaniem, tożsamość tę można udowodnić w następujący sposób:

Prawo splotu wyrażeń logicznych

Tożsamość tę można udowodnić, konsekwentnie stosując prawa pracy ze stałymi logicznymi, rozdzielność, idempotencję i sklejanie:

Upraszczanie funkcji logicznych

W przypadku normalnych form reprezentacji funkcji pojęcie złożoności funkcji definiuje się jako liczbę składników pierwotnych w takiej reprezentacji. Nazywa się transformacje postaci normalnej w celu zmniejszenia złożoności funkcji uproszczenie . Aby uprościć funkcje logiczne, stosuje się wszystkie prawa algebry logicznej.

Zadania.

Uprość SDNF za pomocą następujących funkcji:

1. (A B)  C

2. (A B)  C

Przedstawmy funkcję w doskonałej formie rozłącznej i uprośćmy ją, korzystając z praw algebry logicznej:

3.

Przedstawmy funkcję w doskonałej formie rozłącznej i uprośćmy ją, korzystając z praw algebry logicznej:

SDNF =

Dalsze uproszczenia nie są możliwe.

4.

Przedstawmy funkcję w doskonałej formie rozłącznej i uprośćmy ją, korzystając z praw algebry logicznej:

SDNF =
5.

Przedstawmy funkcję w doskonałej formie rozłącznej i uprośćmy ją, korzystając z praw algebry logicznej:

Metoda Quine’a-McCluskeya

Minimalizację funkcji logicznych można przeprowadzić metodą Quine’a-McCluskeya, która składa się z czterech kroków:

1. 
   Przedstawmy zbiory (składniki), na których funkcja jest prawdziwa, w postaci binarnych odpowiedników.
2. 
   Ułóżmy ekwiwalenty binarne w poziomy (według liczby jednostek ekwiwalentów binarnych) i sklejmy (zastosuj regułę klejenia do odpowiednich składników) zestawy w sąsiednich poziomach, uzyskując maksymalne odstępy tak długo, jak to możliwe; Zaznaczamy każdy komplet biorący udział w klejeniu. Łączone są tylko te zbiory lub przedziały, których różnica polega tylko na wartości jednej cyfry: 001 i 000, 001- i 101- itd.
3. 
   Zbudujmy tabelę Quine'a, której kolumny odpowiadają binarnym zbiorom prawdy funkcji, a wiersze odpowiadają maksymalnym przedziałom. Jeżeli i-ty zbiór należy do j-tego przedziału, to w miejscu przecięcia odpowiedniego wiersza i kolumny stawiamy 1, w przeciwnym wypadku stawiamy 0 lub nic.
4. 
   Znajdujemy minimalne pokrycie tablicy Quine'a, składające się z minimalnej liczby maksymalnych przedziałów, które obejmują (obejmują) wszystkie krotki, na których funkcja jest prawdziwa.

Rozważmy funkcję F1, która jest prawdziwa dla krotek (1, 3, 5, 7, 11, 13, 15). Idealna rozłączna postać normalna tej funkcji jest równa:

Binarne odpowiedniki zbiorów prawdziwych to:

1	0001
3	0011
5	0101
7	0111
11	1011
13	1101
15	1111

Ułóżmy zestawy binarne w poziomy i wykonaj klejenie tak długo, jak to możliwe

0001  	00-1 	0-1
0011  	0-01 	--11
0101  	-011 	-1-1
0111   	0-11  
1101  	-101 
1011  	01-1  
1111   	11-1 
	-111  
	1-11 

Następnie budujemy tabelę Quine’a:

	0001	0011	0101	0111	1011	1101	1111
0--1	1	1	1	1
--11		1		1	1	1	1
-1-1			1	1		1	1

W naszej tabeli zbiory 0001 i 1011 są ujęte w jedyny możliwy sposób, dlatego nazywane są minimalnymi przedziałami je obejmującymi obowiązkowy i forma rdzeń powłokowy, ponieważ musi być zawarty w każdej powłoce. W tabeli odpowiednie jednostki są podkreślone; przedziały (0- -1,- -11) tworzą nie tylko pokrycie rdzenia, ale obejmują także całą tabelę Quine'a.
W ten sposób otrzymaliśmy minimalną postać badanej funkcji w postaci:

MDNF = (0 - - 1, - - 1 1) =

Spójrzmy na kilka przykładów.
Zadania.

1. Znajdź funkcje MDNFF1 =

f1

x1 x2 x3 x4
0 0 0 0	0
0 0 0 1	1
0 0 1 0	1
0 0 1 1	1
0 1 0 0	1
0 1 0 1	0
0 1 1 0	0
0 1 1 1	1
1 0 0 0	0
1 0 0 1	1
1 0 1 0	1
1 0 1 1	1
1 1 0 0	0
1 1 0 1	1
1 1 1 0	0
1 1 1 1	1

Idealny DNF badanej funkcji ma postać:

0001 	00-1 	-0-1
0010 	-001 	-01-
0100	001- 	--11
0011 	-010 	1-1
1010 	0-11 
1001 	-011 
0111 	101- 
1011 	10-1 
1101 	1-01 
1111 	-111 
	1-11 
	11-1 

W pierwszej kolumnie znajduje się zbiór, który nie brał udziału w żadnym łączeniu - sam jest to maksymalny przedział 0100. W trzeciej kolumnie dodawane są do niego kolejne cztery maksymalne przedziały: (-0-1, -01-, --11, 1 --1 ).

Budujemy stół Quine:

	0001	0010	0100	0011	1010	1001	0111	1011	1101	1111
0100			1
-0-1	1					1		1	1
-01-		1		1	1			1
--11				1			1	1		1
1--1						1		1	1	1

Zdefiniujmy rdzeń zasięgu, który będzie obejmował obowiązkowe interwały:

(0100, -0-1, -01-, --11). W w tym przypadku, jądro pokrycia obejmuje całą tabelę jako całość.

Minimalna rozłączna postać normalna f1 to:

2. Znajdź funkcje MDNF F 2( X 1, X 2, X 3), który przyjmuje pojedyncze wartości w zestawach 0,2,3,6 i 7.

Zbudujmy tabelę prawdy dla F2

x1 x2 x3	F2
0 0 0	1
0 0 1	0
0 1 0	1
0 1 1	1
1 0 0	0
1 0 1	0
1 1 0	1
1 1 1	1

SDNF =
Ułóżmy zestawy binarne w poziomy i wykonaj sklejanie:

000 	0-0 	--0
010 	-00 
100 	-10 
110 	1-0 
111 	11-

W wyniku sklejenia otrzymaliśmy tylko dwa maksymalne odstępy: (11-, --0). Bez konstruowania tabeli Quine’a oczywiste jest, że tworzą one minimalny zasięg, ponieważ usunięcie któregokolwiek z tych przedziałów spowoduje utratę zbiorów, na których funkcja f2(x1, x2, x3 ) PRAWDA. MDNF = x1 x2 +x3.

LITERATURA

1. 
   Gusiewa A.I. Nauka informatyki: problemy i metody ich rozwiązywania - M.: DIALOG-MEPhI, 2003.
2. 
   Gorbatow V.A. Podstawy matematyki dyskretnej. - M.: Nauka. Fizmatlit, 1999.-544s

Współczesne komputery, bazujące na „starożytnych” komputerach elektronicznych, jako podstawowe zasady działania opierają się na pewnych postulatach. Nazywa się je prawami algebry logiki. Po raz pierwszy opisano taką dyscyplinę (oczywiście nie tak szczegółowo, jak w nowoczesna forma) przez starożytnego greckiego naukowca Arystotelesa.

Reprezentując odrębną gałąź matematyki, w ramach której bada się rachunek zdań, algebra logiki ma szereg jasno ustrukturyzowanych wniosków i wniosków.

Aby lepiej zrozumieć temat, przeanalizujemy pojęcia, które pomogą w przyszłości poznać prawa algebry logicznej.

Być może głównym terminem w badanej dyscyplinie jest stwierdzenie. Jest to pewne stwierdzenie, które nie może być jednocześnie fałszywe i prawdziwe. Zawsze ma tylko jedną z tych cech. W tym przypadku przyjmuje się umownie, że prawdziwości przypisuje się wartość 1, fałszerstwu 0, a samo stwierdzenie nazywa się pewnym A, B, C. Innymi słowy, wzór A = 1 oznacza, że ​​zdanie A jest prawdziwe. Z wypowiedziami możesz sobie poradzić w większości na różne sposoby. Rozważmy pokrótce działania, które można za ich pomocą wykonać. Zauważmy też, że praw algebry logicznej nie da się poznać bez znajomości tych zasad.

1. Dysjunkcja dwie instrukcje - wynik operacji „lub”. Może być fałszywe lub prawdziwe. Używany jest symbol „v”.

2. Koniunkcja. Wynik takiej akcji wykonanej na dwóch stwierdzeniach będzie nowy tylko w przypadku, gdy oba pierwotne stwierdzenia będą prawdziwe. Stosowany jest operator „i”, symbol „^”.

3. Implikacja. Operacja „jeśli A to B”. Wynikiem jest stwierdzenie, które jest fałszywe tylko wtedy, gdy A jest prawdziwe, a B jest fałszywe. Używany jest symbol „->”.

4. Równoważność. Operacja „A wtedy i tylko wtedy, gdy B kiedy.” To stwierdzenie jest prawdziwe w przypadkach, gdy obie zmienne mają takie same wyniki. Używany jest symbol „<->».

Istnieje również wiele operacji bliskich implikacji, ale nie zostaną one omówione w tym artykule.

Rozważmy teraz szczegółowo podstawowe prawa algebry logicznej:

1. Stany przemienne lub przemienne, w których zmiana miejsc terminów logicznych w operacjach koniunkcji lub alternatywy nie ma wpływu na wynik.

2. Łącznik lub asocjacja. Zgodnie z tym prawem zmienne w operacjach koniunkcji lub alternatywy można łączyć w grupy.

3. Dystrybucyjny lub dystrybucyjny. Istota prawa polega na tym, że identyczne zmienne w równaniach można wyjąć z nawiasów bez zmiany logiki.

4. Prawo De Morgana (inwersja lub negacja). Negacja operacji koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji pierwotnych zmiennych. Z kolei negacja alternatywy jest równa koniunkcji negacji tych samych zmiennych.

5. Podwójny negatywny. Dwukrotne zanegowanie danego zdania skutkuje stwierdzeniem pierwotnym, a trzykrotne jego zaprzeczeniem.

6. Prawo idempotencji dla dodawania logicznego wygląda następująco: x v x v x v x = x; dla mnożenia: x^x^x^=x.

7. Prawo niesprzeczności mówi: dwa zdania, jeśli są sprzeczne, nie mogą być jednocześnie prawdziwe.

8. Prawo wykluczenia trzeciego. Spośród dwóch sprzecznych twierdzeń jedno jest zawsze prawdziwe, drugie fałszywe, a trzecie nie jest dane.

9. Prawo absorpcji można zapisać w ten sposób dla dodawania logicznego: x v (x^y)=x, dla mnożenia: x^ (x v y)=x.

10. Prawo klejenia. Dwa sąsiednie spójniki mogą się skleić, tworząc koniunkcję niższej rangi. W tym przypadku znika zmienna, za pomocą której sklejono pierwotne spójniki. Przykład dodawania logicznego:

(x^y) v (-x^y)=y.

Rozważaliśmy tylko najczęściej używane prawa algebry logicznej, których w rzeczywistości może być znacznie więcej, ponieważ równania logiczne często przybierają długą i ozdobną formę, którą można skrócić, stosując szereg podobnych praw.

Z reguły dla ułatwienia obliczeń i identyfikacji wyników stosuje się specjalne tabele. Wszystkie istniejące prawa algebry logicznej, dla których tabela ma ogólną strukturę prostokąta siatki, są zapisywane, rozdzielając każdą zmienną do osobnej komórki. Im większe równanie, tym łatwiej jest posługiwać się tabelami.

Istnieje pięć praw algebry logicznej:

1. Prawo pojedynczych pierwiastków

1 * X = X
0 * X = 0
1 + X = 1
0 + X = X

To prawo algebry logiki wynika bezpośrednio z powyższych wyrażeń aksjomatów algebry logiki.

Dwa górne wyrażenia mogą być przydatne przy konstruowaniu przełączników, ponieważ poprzez zastosowanie logicznego zera lub jedynki do jednego z wejść elementu „2I” można albo przekazać sygnał na wyjście, albo utworzyć na wyjściu potencjał zerowy.

Drugą możliwością wykorzystania tych wyrażeń jest możliwość selektywnego zerowania niektórych cyfr liczby wielocyfrowej. Stosując operację „AND” krok po kroku, można albo pozostawić poprzednią wartość bitu, albo zresetować ją do zera, przykładając jednostkę lub potencjał zerowy do odpowiednich bitów. Na przykład musisz zresetować cyfry 6, 3 i 1. Następnie:

Na podanym przykładzie wykorzystania praw algebry logicznej wyraźnie widać, że w celu wyzerowania niezbędnych cyfr w masce (niższa liczba) w miejsce odpowiednich cyfr wpisuje się zera, a w pozostałe cyfry wpisuje się jedynki. W pierwotnej liczbie (najwyższej liczbie) zamiast 6. i 1. cyfry znajdują się jedynki. Po wykonaniu operacji „AND” w tych miejscach pojawiają się zera. W miejscu trzeciej cyfry pierwotnej liczby znajduje się zero. Wynikowa liczba również zawiera zero w tym miejscu. Pozostałe cyfry, zgodnie z wymaganiami warunków zadania, nie ulegają zmianie.

W ten sam sposób, korzystając z prawa pojedynczych elementów, jednego z podstawowych praw algebry logicznej, możemy zapisać jednostki w potrzebnych nam cyfrach. W takim przypadku konieczne jest użycie dwóch dolnych wyrażeń prawa pojedynczych elementów. Używając operacji „OR” krok po kroku, możesz albo pozostawić poprzednią wartość bitu, albo zresetować ją do zera, przykładając potencjał zerowy lub jeden do odpowiednich bitów. Załóżmy, że chcesz wpisać jednostki do 7. i 6. bitu liczby. Następnie:

Tutaj w masce (niższa liczba) napisaliśmy jedynki w bitach siódmym i szóstym. Pozostałe bity zawierają zera i dlatego nie mogą zmienić pierwotnego stanu pierwotnej liczby, co widzimy w liczbie wynikowej pod linią.

Pierwsze i ostatnie wyrażenie prawa pojedynczych bramek pozwala na użycie z dużą liczbą wejść jako bramek logicznych z mniejszą liczbą wejść. W tym celu nieużywane wejścia w obwodzie AND należy podłączyć do źródła zasilania, jak pokazano na rysunku 1:

Rysunek 1. Układ „2I-NOT”, zaimplementowany na elemencie logicznym „3I-NOT”

Jednocześnie nieużywane wejścia obwodu OR, zgodnie z prawem pojedynczych elementów, należy podłączyć do przewodu wspólnego obwodu, jak pokazano na rysunku 2.

Rysunek 2. Obwód „NOT” zaimplementowany na elemencie „2I-NOT”.

Kolejnymi prawami algebry logiki, wynikającymi z aksjomatów algebry logiki, są prawa negacji.

2. Prawa negacji

A. Prawo elementów dodatkowych

Wyrażenia tego prawa algebry logicznej są szeroko stosowane w celu minimalizacji obwodów logicznych. Jeśli uda się wyizolować takie podwyrażenia z ogólnego wyrażenia funkcji logicznej, wówczas można zmniejszyć wymaganą liczbę wejść elementów obwodu cyfrowego, a czasem nawet zredukować całe wyrażenie do stałej logicznej.

Innym powszechnie stosowanym prawem algebry logicznej jest prawo podwójnej negacji.

B. Dwa razy nie

Prawo podwójnej negacji stosuje się zarówno do uproszczenia wyrażeń logicznych (a w konsekwencji do uproszczenia i obniżenia kosztów cyfrowych układów kombinatorycznych), jak i do wyeliminowania inwersji sygnału po takich elementach logicznych jak „2AND-NOT” i „2OR-NOT” . W tym przypadku prawa algebry logicznej umożliwiają realizację zadanych układów cyfrowych przy użyciu ograniczonego zestawu elementów logicznych.

C. Prawo logiki negatywnej

Prawo logiki ujemnej obowiązuje dla dowolnej liczby zmiennych. To prawo algebry logicznej pozwala na realizację „OR” za pomocą elementów logicznych i odwrotnie: realizację funkcji logicznej „OR” za pomocą elementów logicznych „AND”. Jest to szczególnie przydatne w obwodach TTL, ponieważ łatwo jest wdrożyć bramki logiczne „AND”, ale bramki logiczne „OR” są dość trudne do wdrożenia. Dzięki prawu logiki ujemnej możliwe jest zaimplementowanie elementów „OR” na elementach logicznych „AND”. Rysunek 3 przedstawia realizację elementu logicznego „2OR” na elemencie „” i dwóch falownikach.

Rysunek 3. Element logiczny „2OR” zaimplementowany na elemencie „2I-NOT” i dwóch falownikach

To samo można powiedzieć o okablowaniu obwodu „OR”. W razie potrzeby można go przekształcić w montażowy „AND”, stosując falowniki na wejściu i wyjściu tego obwodu.

3. Prawa kombinowane

Kombinacyjne prawa algebry logicznej w dużej mierze odpowiadają kombinacyjnym prawom zwykłej algebry, ale są też różnice.

A. prawo tautologii (wielokrotne powtórzenia)

X + X + X + X = X
X * X * X * X = X

To prawo algebry logicznej pozwala na użycie bramek logicznych z większą liczbą wejść jako bramek logicznych z mniejszą liczbą wejść. Na przykład można zaimplementować dwuwejściowy obwód „2I” na elemencie logicznym „3I”, jak pokazano na rysunku 4:

Rysunek 4. Obwód „2I-NOT” zaimplementowany na elemencie logicznym „3I-NOT”.

lub użyj obwodu „2AND-NOT” jako zwykłego falownika, jak pokazano na rysunku 5:

Rysunek 5. Obwód „NOT” zaimplementowany na elemencie logicznym „2I-NOT”

Należy jednak ostrzec, że połączenie kilku wejść zwiększa prądy wejściowe elementu logicznego i jego pojemność, co zwiększa pobór prądu poprzednich elementów i negatywnie wpływa na prędkość obwodu cyfrowego jako całości.

Aby zmniejszyć liczbę wejść w elemencie logicznym, lepiej zastosować inne prawo algebry logicznej - prawo pojedynczych elementów, jak pokazano powyżej.

Kontynuujmy rozważania nad prawami algebry logicznej:

B. prawo mobilności

A + B + C + D = A + C + B + D

C. prawo kombinacji

A + B + C + D = A + (B + C) + D = A + B + (C + D)

D. prawo rozdzielcze

X1(X2 + X3) = X1X2 + X1X3 X1 + X2X3 = (X1 + X2)(X1 + X3) = /udowodnimy to otwierając nawiasy/ =
= X1X1 + X1X3 + X1X2 + X2X3 = X1(1 + X3 + X2) + X2X3 = X1 + X2X3

4. Zasada absorpcji (jedna zmienna absorbuje inne)

X1 + X1X2X3 =X1(1 + X2X3) = X1

5. Zasada klejenia (realizuje tylko jedną zmienną)

Podobnie jak w zwykłej matematyce, w algebrze logicznej istnieje pierwszeństwo operacji. W tym przypadku pierwszą rzeczą do zrobienia jest:

1. Akcja w nawiasach
2. Operacja jednym argumentem (operacja jednomiejscowa) - „NIE”
3. Spójnik - „i”
4. Rozłączenie - „LUB”
5. Suma modulo dwa.

Operacje tej samej rangi wykonywane są od lewej do prawej w kolejności zapisu wyrażenia logicznego. Algebra logiczna jest liniowa i obowiązuje dla niej zasada superpozycji.

Literatura:

Przeczytaj razem z artykułem „Prawa algebry logiki”:

Każdy obwód logiczny bez pamięci jest całkowicie opisany tablicą prawdy... Aby zaimplementować tablicę prawdy, wystarczy wziąć pod uwagę tylko te wiersze...
http://site/digital/SintSxem.php

Dekodery (dekodery) umożliwiają konwersję niektórych typów kodów binarnych na inne. Na przykład...
http://site/digital/DC.php

Dość często twórcy sprzętu cyfrowego stają przed odwrotnym problemem. Musisz przekonwertować ósemkowy lub dziesiętny kod liniowy na...
http://site/digital/Coder.php

Multipleksery to urządzenia umożliwiające podłączenie kilku wejść do jednego wyjścia...
http://site/digital/MS.php

Demultipleksery to urządzenia... Istotną różnicą w stosunku do multipleksera jest...
http://site/digital/DMS.php