Теми кодифікатора ЄДІ: повна енергія, зв'язок маси та енергії, енергія спокою.

У класичній динаміці ми почали із законів Ньютона, потім перейшли до імпульсу, а після нього – до енергії. Тут ми заради простоти викладу надійдемо навпаки: почнемо з енергії, потім перейдемо до імпульсу і закінчимо релятивістським рівнянням руху - модифікацією другого закону Ньютона для теорії відносності.

Релятивістська енергія

Припустимо, що ізольоване тіло маси спочиває в даній системі відліку. Одне з найбільш вражаючих досягнень теорії відносності – це знаменита формула Ейнштейна:

Тут – енергія тіла, – швидкість світла у вакуумі. Оскільки тіло спочиває, енергія , що вичіляється за формулою (1) , називається енергією спокою.

Формула (1) стверджує, що кожне тіло саме по собі має енергію - просто тому, що воно існує в природі. Образно кажучи, природа витратила певні зусилля те що, щоб «зібрати» це тіло з дрібних частинок речовини, і мірою цих зусиль служить енергія спокою тіла. Енергія ця дуже велика; так, в одному кілограмі речовини міститься енергія

Цікаво, скільки палива потрібно спалити, щоб виділилося стільки енергії? Візьмемо, наприклад, дерево. Його питома теплота згоряння дорівнює Дж/кг, тому знаходимо: кг. Це дев'ять мільйонів тонн!

Ще для порівняння: таку енергію єдина енергосистема Росії виробляє приблизно десять днів.

Чому така грандіозна енергія, що міститься в тілі, досі залишалася нами непоміченою? Чому в нерелятивістських завданнях, пов'язаних із збереженням та перетворенням енергії, ми не враховували енергію спокою? Незабаром ми відповімо на це запитання.

Оскільки енергія спокою тіла прямо пропорційна його масі, зміна енергії спокою на величину призводить до зміни маси тіла

Так, при нагріванні тіла збільшується його внутрішня енергія, і, отже, маса тіла підвищується! У повсякденному житті ми не помічаємо цього ефекту через його надзвичайну малість. Наприклад, для нагрівання води масою кг на (питома теплоємність води дорівнює) їй потрібно передати кількість теплоти:

Збільшення маси води дорівнюватиме:

Така мізерна зміна маси неможливо помітити на тлі похибок вимірювальних приладів.

Формула ( 1 ) дає енергію тіла, що покоїться. Що зміниться, якщо тіло рухається?

Знову розглянемо нерухому систему відліку та систему, що рухається відносно зі швидкістю. Нехай тіло маси спочиває в системі; тоді енергія тіла у системі є енергія спокою, обчислювана за такою формулою ( 1 ). Виявляється, при переході в систему енергія перетворюється так само, як і час - а саме, енергія тіла в системі, в якій тіло рухається зі швидкістю, дорівнює:

( 2 )

Формула (2) була також встановлена ​​Ейнштейном. Величина – це повна енергіярухомого тіла. Оскільки в цій формулі ділиться на «релятивістський корінь», менший одиниці, повна енергія тіла, що рухається, перевищує енергію спокою. Повна енергія дорівнюватиме енергії спокою тільки при .

Вираз для повної енергії (2) дозволяє зробити важливі висновки про можливі швидкості руху об'єктів у природі.

1. Кожне масивне тіло має певну енергію, тому необхідне виконання нерівності

Воно означає, що : швидкість масивного тіла завжди менша за швидкість світла.

2. У природі існують безмасові частки (наприклад, фотони), що несуть енергію. При підстановці формулу ( 2 ) її чисельник перетворюється на нуль. Але енергія фотона ненульова!

Єдиний спосіб уникнути тут протиріччя – це прийняти, що безмасова частка повинна рухатися зі швидкістю світла. Тоді і знаменник нашої формули перетвориться на нуль, так що формула ( 2 ) просто відмовить. Знаходження формул для енергії безмасових частинок не входить до компетенції теорії відносності. Так, вираз енергії фотона встановлюється в квантової фізики.

Інтуїтивно відчувається, що повна енергія (2) складається з енергії спокою та власне «енергії руху», тобто кінетичної енергії тіла. При малих швидкостях руху це явно. Використовуємо наближені формули, справедливі при:

( 3 )
( 4 )

За допомогою цих формул послідовно отримуємо з ( 2 ):

( 5 )

Таким чином, при малих швидкостях руху повна енергія зводиться просто до суми енергія спокою та кінетичної енергії. Це є мотивуванням для визначення поняття кінетичної енергії в теорії відносності:

. ( 6 )

При формула (6) перетворюється на нерелятивістський вираз.

Тепер ми можемо відповісти на запитання про те, чому досі не враховувалася енергія спокою в нерелятивістських енергетичних співвідношеннях. Як видно з ( 5 ), при малих швидкостях руху енергія спокою входить у повну енергію як доданок. У завданнях, наприклад, механіки та термодинаміки зміни енергії тіл становлять максимум кілька мільйонів джоулів; ці зміни настільки незначні в порівнянні з енергіями спокою тих, що розглядаються, що призводять до мікроскопічних змін їх мас. Тому з високою точністю вважатимуться, що сумарна маса тіл не змінюється під час механічних чи теплових процесів. В результаті суми енергій спокою тіл на початку та в кінці процесу просто скорочуються в обох частинах закону збереження енергії!

Але таке не завжди. В інших фізичних ситуаціях зміни енергії тіл можуть призводити до помітніших змін сумарної маси. Ми побачимо, наприклад, що у ядерних реакціях відмінності мас вихідних і кінцевих продуктів зазвичай становлять частки процента.Скажем, при розпаді ядра урану сумарна маса продуктів розпаду приблизно менше маси вихідного ядра. Ця тисячна частка маси ядра вивільняється як енергії, яка під час вибуху атомної бомби здатна знищити місто.

При непружному зіткненні частина кінетичної енергії тіл перетворюється на їх внутрішню енергію. Релятивістський закон збереження повної енергії враховує цей факт: сумарна маса тіл після зіткнення зростає!

Розглянемо як приклад два тіла маси, що летять назустріч один одному з однаковою швидкістю. В результаті непружного зіткнення утворюється тіло маси, швидкість якого дорівнює нулю за законом збереження імпульсу (про цей закон мова попереду). Відповідно до закону збереження енергії отримуємо:

Ми, що, - маса тіла, що утворився, перевищує суму мас тіл до зіткнення. Надлишок маси, рівний, виник за рахунок переходу кінетичної енергії тіл, що стикаються, у внутрішню енергію.

Релятивістський імпульс.

Класичний вираз для імпульсу не годиться теоретично відносності - воно, зокрема, не узгоджується з релятивістським законом складання швидкостей. Давайте переконаємося у цьому наступному простому прикладі.

Нехай система рухається щодо системи зі швидкістю (рис. 1). Два тіла маси в системі летять назустріч один одному з однаковою швидкістю. Відбувається непружне зіткнення.

У системі тіла після зіткнення зупиняються. Давайте, як і вище, знайдемо масу тіла, що утворився:

Тепер подивимося на процес зіткнення з погляду системи. До зіткнення ліве тіло має швидкість:

Праве тіло має швидкість:

Нерелятивістський імпульс нашої системи до зіткнення дорівнює:

Після зіткнення тіло маси, що вийшло, рухається зі швидкістю.
Його нерелятивістський імпульс дорівнює:

Як бачимо, тобто нерелятивістський імпульс не зберігається.

Виявляється, правильний вираз для імпульсу в теорії відносності виходить розподілом класичного вираження на «релятивістський корінь»: імпульс тіла маси, що рухається зі швидкістю, дорівнює:

Давайте повернемося до щойно розглянутого прикладу і переконаємося, що тепер із законом збереження імпульсу все буде гаразд.

Імпульс системи до зіткнення:

Імпульс після зіткнення:

Ось тепер все правильно:!

Зв'язок енергії та імпульсу.

З формул ( 2 ) і ( 7 ) можна отримати чудове співвідношення між енергією та імпульсом теорії відносності. Зводимо обидві частини цих формул квадрат:

Перетворюємо різницю:

Це і є шукане співвідношення:

. ( 8 )

Дана формула дозволяє виявити простий зв'язок між енергією та імпульсом фотона. Фотон має нульову масу та рухається зі швидкістю світла. Як зазначалося вище, власними силами енергія і імпульс фотона в СТО знайдено не можуть: при підстановці у формули ( 2 ) і ( 7 ) значень ми отримаємо числителя і знаменнику. Зате за допомогою ( 8 ) легко знаходимо: , або

( 9 )

У квантовій фізиці встановлюється вираз енергії фотона, після чого за допомогою формули ( 9 ) знаходиться його імпульс.

Релятивістське рівняння руху.

Розглянемо тіло маси, що рухається вздовж осі під дією сили. Рівняння руху тіла на класичної механіці - це другий закон Ньютона: . Якщо за нескінченно малий час збільшення швидкості тіла дорівнює , то , і рівняння руху запишеться у вигляді:

. ( 10 )

Тепер зауважимо, що – зміна нерелятивістського імпульсу тіла. В результаті отримаємо «імпульсну» форму запису другого закону Ньютона - похідна імпульсу тіла за часом дорівнює силі, що додається до тіла:

. ( 11 )

Всі ці речі вам знайомі, але повторити ніколи не завадить;

Класичне рівняння руху - другий закон Ньютона - є інваріантним щодо перетворень Галілея, які в класичній механіці описують перехід з однієї інерційної системи відліку до іншої (це означає, нагадаємо, що при зазначеному переході другий закон Ньютона зберігає свій вигляд). Однак у СТО перехід між інерційними системами відліку описується перетвореннями Лоренца, а щодо них другий закон Ньютона не є інваріантним. Отже, класичне рівняння руху має бути замінено на релятивістське, яке зберігає свій вигляд під дією перетворень Лоренца.

Те, що другий закон Ньютона ( 10 ) не може бути вірним у СТО, добре видно на наступному прикладі. Припустимо, що до тіла прикладена постійна сила. Тоді згідно з класичною механікою тіло рухатиметься з постійним прискоренням; швидкість тіла лінійно зростатиме і з часом перевищить швидкість світла. Але ми знаємо, що насправді
справі це неможливо.

Правильне рівняння руху на теорії відносності виявляється дуже складним.
Релятивістське рівняння руху має вигляд ( 11 ), де p - релятивістський імпульс:

. ( 12 )

Похідна релятивістського імпульсу за часом дорівнює силі, що додається до тіла.

Теоретично відносності рівняння ( 12 ) змінюється другого закону Ньютона.

Давайте з'ясуємо, як насправді буде рухатися тіло маси m під дією постійної сили . За умови формули ( 12 ) отримуємо:

Залишається висловити звідси швидкість:

. ( 13 )

Подивимося, що дає ця формула при малих і великих часах руху.
Користуємося наближеними співвідношеннями при:

, ( 14 )

. ( 15 )

Формули ( 14 ) і ( 15 ) відрізняються від формул ( 3 ) і ( 4 ) лише знаком у лівих частинах. Дуже рекомендую вам запам'ятати всі ці чотири наближені рівність - вони часто використовуються у фізиці.

Отже, починаємо з малих часів руху. Перетворимо вираз ( 13 ) таким чином:

При малих маємо:

Послідовно користуючись нашими наближеними формулами, отримаємо:

Вираз у дужках майже не відрізняється від одиниці, тому при малих маємо:

Тут – прискорення тіла. Ми отримали результат, добре відомий нам із класичної механіки: швидкість тіла лінійно зростає з часом. Це й не дивно – за малих часів руху швидкість тіла також невелика, тому ми можемо знехтувати релятивістськими ефектами та користуватися звичайною механікою Ньютона.

Тепер переходимо до великих часів. Перетворимо формулу ( 13 ) по-іншому:

При більших значеннях маємо:

Добре видно, що при швидкість тіла неухильно наближається до швидкості світла, але завжди залишається менше - як і вимагає теорія відносності.

Залежність швидкості тіла від часу, що дається формулою (13), графічно представлена ​​на рис. 2 .

Початкова ділянка графіка – майже лінійна; тут поки що працює класична механіка. Згодом позначаються релятивістські поправки, графік викривляється, і за великих часів наша крива асимптотично наближається до прямої.

Формула Е = тс 2 для релятивістської енергії дозволяє дати нову, релятивістську інтерпретацію маси частинки (матеріальної точки). Вона показує, що наявність у частки енергії Еозначає наявність у неї маси Е/с 2 і навпаки, наявність маси тозначає наявність енергії тс?Таким чином, маса, яка в класичній механіці інтерпретується або як міра інертності тіла (другий закон Ньютона), або як міра його гравітаційної дії (закон всесвітнього тяжіння), у релятивістській механіці виступає у новій функції: це є міра енергомісткутіла, незалежно від його інертних чи гравітаційних властивостей. Зокрема, будь-яке тіло має енергію навіть у стані спокою: це його енергія спокою тщс 2 .Універсальність взаємозв'язку маси та енергії проявляється в тому, що «енергозміст» тіла включає будь-який вид енергії, укладеної в тілі, у тому числі, наприклад, внутрішньоядерної енергії, що звільняється при ядерному вибуху (що і підтверджується при розрахунках вибухів атомних бомб).

Хоча часто вживали поняття «матеріальна точка» чи «частка», але ніде не використовували ні точкових властивостей тіла, ні «елементарність» частки. Тому формула для релятивістської енергії застосовна і до будь-якого складного тіла, що складається з багатьох частинок, причому під швидкістю іми розуміємо швидкість його руху як цілого, а під його релятивістською масою його масу як цілого. І тоді очевидно, що релятивістська енергія тіла завжди є позитивною величиною, безпосередньо пов'язаною з його масою. У зв'язку з цим можна помітити, що в класичній механіці позитивною є тільки кінетична енергія тіла, тоді як повна (зберігається) кінетична енергія плюс потенційна може бути і негативною.

Нехай механічна система як ціле спочиває, і нехай М 0 її маса спокою. Якщо вона складається з часток, що вільно рухаються, то її релятивістська енергія дорівнює сумі релятивістських енергій частинок, що входять до її складу. Зовсім іншу картину маємо у разі, коли частинки складного тіла (системи) взаємодіють один з одним. Тоді повна енергія Мд з 2 складного тіла містить, крім енергії спокою частинок, що входять до його складу, їх кінетичну енергію (вони можуть рухатися всередині замкнутої системи), а також енергію їх взаємодії один з одним (приклад енергія ядерної взаємодії частинок, що утворюють ядро ​​атома). Таким чином, енергія Mqc? тіла не дорівнює сумі Хд т 0 кС 2 ,де тдд - маса спокою до-ойчастинки тіла. Звідси прямо випливає, що маса тіла тіла, що спокою, не дорівнює сумі мас спокою його складових частин: фХд т 0? Це означає, що у релятивістській динаміці не виконується закон збереження маси. Це ще одна її відмінність від класичної механіки: маса складного тіла не дорівнює сумі мас його частин. Водночас релятивістська енергія замкнутої системи зберігається, якщо брати до уваги й енергію спокою системи. Якщо не враховувати у всіх системах енергію спокою у складі повної енергії, то неможливо задовольнити закон збереження імпульсу та енергії у всіх системах відліку. Цей урок, поданий нам релятивістською фізикою, не передбачався у фізиці Ньютона.

Системи взаємодіючих частинок можна розділити на два типи: системи, які можуть спонтанно розпадатися, і системи пов'язані, тобто мають запас міцності. Якщо система розпадається, то її релятивістська енергія частково переходить у кінетичну енергію частинок, що звільнилися; при цьому, отже, необхідно Мдс 2 > Xa- чи

ilio > Xa m 0 k, ~тіло може мимоволі розпадатися лише на частини, сума мас спокою яких менша за масу спокою тіла. Навпаки, якщо Мд енергією зв'язку тіла: Є св.Позитивна величина

називається дефектом масскладного тіла.

Як бачимо, у релятивістській механіці маса та енергія системи частинок залежать від її складу та внутрішнього стану. У разі пов'язаної (міцної) системи, наприклад, атомного ядра, сума мас спокою вільних протонів і нейтронів завжди більша за масу спокою утвореного з них ядра.

Може лише частково задовольняти дослідників при здійсненні математичних розрахунків та складанні певних математичних моделей. Ньютонівські закони лише справедливі щодо перетворень Галілея, але для решти випадків потрібні нові перетворення, які відбито у представлених перетвореннях Лоренца. Він ввів такі принципи та поняття для того, щоб робити точні розрахунки для взаємодіючих об'єктів, які здійснюють подібні процеси на надвеликих швидкостях, близьких до швидкості світла.

Малюнок 1. Імпульс та енергія в релятивістській механіці. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Сама теорія відносності, яка була сформульована Альбертом Ейнштейном, вимагає серйозного перегляду догм класичної механіки. Лоренц ввів додаткові рівняння динаміки, метою яких і були ті самі перетворення класичних уявлень про фізичні процеси, що відбуваються. Необхідно було змінити формули таким чином, щоб вони залишалися вірними під час переходу з однієї інерційної системи відліку до іншої.

Релятивістський імпульс

Рисунок 2. Релятивістський імпульс. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Для того щоб запровадити поняття енергії в релятивістській механіці, необхідно розглянути:

• релятивістський імпульс;
• принцип відповідності.

При отриманні релятивістського виразу імпульсу слід застосовувати принцип відповідності. У релятивістській механіці імпульс частки можна визначити швидкістю цієї частки. Однак залежність імпульсу від швидкості є складнішим механізмом, ніж подібні процеси в класичній механіці. Це більше не можна звести до простої пропорційності, ефективність розрахунків складається з додаткових параметрів і величин. Імпульс представляють у вигляді вектора, де його напрямок має повністю збігатися з напрямком швидкості певної частки. Це передбачається при варіанті симетрії, оскільки еквівалентність набирає чинності ізотропності вільного простору.

Зауваження 1

При цьому імпульс вільної частки спрямовується до єдиного виділеного напрямку її швидкості. Якщо швидкість частинок дорівнює нулю, то імпульс частинки також дорівнює нульовому значенню.

Швидкість частки у будь-якій системі відліку має кінцеву величину. Вона повинна бути завжди меншою за швидкість світла, яка відображається у вигляді літери С, проте цей факт не здатний накласти деяких обмежень на всю величину імпульсу цієї частинки і імпульс необмежено може зростати.

Релятивістська енергія

Зіставивши різні методи розрахунків та прийомів можна знайти релятивістську енергію частинок. Відомо, що дуже важливою властивістю енергії є її здатність по перетворенню з однієї форми на іншу і навпаки. Це відбувається в еквівалентних кількостях і за різних зовнішніх умов. У цих метаморфозах полягає один із основних законів збереження та перетворення енергії. За таких явищ дослідники встановили зростання релятивістської маси. Подібні процеси відбуваються за будь-якого збільшення енергії тіл, і це залежить від певного виду енергії, зокрема кінетичної енергії. Встановлено, що повна енергія тіла пропорційна його релятивістській масі. Це відбувається незалежно від того, з яких конкретних видів енергії вона складається.

Візуально такі процеси можна подати у вигляді простих прикладів:

• нагріте тіло матиме більшу масу спокою ніж холодний об'єкт;
• деформована механічним способом деталь також має більшу масу, ніж не схильна до обробки.

Ейнштейн вловив цей взаємозв'язок між масою та енергією тіла. Відповідно, що при непружному зіткненні різних частинок відбуваються певні процеси перетворення кінетичної енергії у внутрішню. Її ще називають енергією теплового руху частинок. При такому вигляді взаємодій видно, що маса спокою тіла стане більшою від сумарної маси спокою тіл на початку експерименту. Внутрішня енергія певного тіла може супроводжуватись збільшенням маси пропорційно. Такий самий процес закономірний збільшення значення кінетичної енергії. За класичною механікою такі зіткнення не передбачали утворення внутрішньої енергії, оскільки не входили до поняття механічної енергії.

Пропорційність маси та енергії

Для логічної дії закону релятивістської енергії необхідно запровадити поняття закономірності збереження імпульсу та його співвідношення з принципом відносності. Для цього потрібно, щоб закон збереження енергії виконувався у різних інерційних системах відліку.

Збереження імпульсу тісно пов'язане з пропорційністю енергії та маси тіла у будь-яких його формах та проявах. Збереження імпульсу неможливо при замкнутої системі відліку, коли відбувається перехід енергії зі звичної форми в іншу. І тут маса тіла починає змінюватися, і закон перестає діяти правильно. Закон пропорційності маси та енергії виражається як найбільш наближений висновок усієї теорії відносності.

Інертні властивості тіла у кількісному вираженні характеризує механіку маси тіла. Така інертна маса може бути мірою інертності всього тіла. Антиподом інертної маси виступає гравітаційна маса. Вона характеризується здатністю тіла створювати навколо себе певне поле тяжіння і таким чином діяти на інші тіла.

В даний час рівність гравітаційної та інертної маси підтверджено великою кількістю досвідчених досліджень. Теоретично відносності також виникає питання, де фігурують поняття енергії та маси тіла. Це з проявом різних властивостей матерії. Якщо їх докладно розглядати у зазначеній площині, то маса та енергія в матерії істотно відрізнятиметься. Однак подібні властивості матерії, безперечно, міцно пов'язані між собою. У цьому контексті прийнято говорити про еквівалентність маси та енергії, оскільки вони пропорційні один щодо одного.

Згідно з уявленнями класичної механіки, маса тіла є постійною величиною. Однак наприкінці ХІХ ст. на дослідах з електронами було встановлено, що маса тіла залежить від швидкості руху, а саме зростає зі збільшенням vза законом

де - маса спокою, тобто. маса матеріальної точки, виміряна у тій інерційній системі відліку, щодо якої точка спочиває; m- маса точки в системі відліку, щодо якої вона рухається зі швидкістю v.

виявляється інваріантним по відношенню до перетворення Лоренца, якщо в ньому праворуч стоїть похідна від релятивістського імпульсу:

З наведених формул випливає, що при швидкостях, значно менших за швидкість світла у вакуумі, вони переходять у формули класичної механіки. Отже, умовою застосування законів класичної механіки є умова . Закони Ньютона виходять як наслідок СТО для граничного випадку. Таким чином, класична механіка - це механіка макротіл, що рухаються з малими (порівняно зі швидкістю світла у вакуумі) швидкостями.

Внаслідок однорідності простору у релятивістській механіці виконується закон збереження релятивістського імпульсу: релятивістський імпульс замкнутої системи тел зберігається, тобто. не змінюється з часом.

Зміна швидкості тіла у релятивістської механіки тягне у себе зміна маси, отже, і повної енергії, тобто. між масою та енергією існує взаємозв'язок. Цю універсальну залежність - закон взаємозв'язку маси та енергії- Встановив А. Ейнштейн:

З (5.13) випливає, що будь-якій масі (що рухається) mабо ) відповідає певне значення енергії. Якщо тіло перебуває у стані спокою, його енергія спокою

Енергія спокою є внутрішньою енергією тіла, Що складається з кінетичних енергій всіх частинок, потенційної енергії їх взаємодії та суми енергій спокою всіх частинок.

У релятивістській механіці не справедливий закон збереження мас спокою. Саме на цьому поданні засноване пояснення дефекту маси ядра та ядерних реакцій.

У СТО виконується закон збереження релятивістської маси та енергії: зміна повної енергії тіла (або системи) супроводжується еквівалентною зміною його маси:

Таким чином, маса тіла, яка в класичній механіці є мірою інертності чи гравітації, у релятивістській механіці є ще й мірою енергозмісту тіла.

Фізичний зміст висловлювання (5.14) у тому, що є важлива можливість переходу матеріальних об'єктів, мають масу спокою, в електромагнітне випромінювання, яке має маси спокою; у своїй виконується закон збереження енергії.

Класичним прикладом цього є анігіляція електрон-позитронної пари і, навпаки, утворення пари електрон-позитрон із квантів електромагнітного випромінювання:

У релятивістській динаміці значення кінетичної енергії Є довизначається як різниця енергій, що рухається Еі того, хто спочиває Е 0 тіла:

При рівнянні (5.15) переходить у класичний вираз

З формул (5.13) і (5.11) знайдемо релятивістське співвідношення між повною енергією та імпульсом тіла:

Закон взаємозв'язку маси та енергії повністю підтверджений експериментами щодо виділення енергії при протіканні ядерних реакцій. Він широко використовується для розрахунку енергійного ефекту при ядерних реакціях та перетворення елементарних частинок.

Короткі висновки:

Спеціальна теорія відносності - це нове вчення про простір і час, що прийшов на зміну класичним уявленням. В основі СТО лежить положення, за яким ніяка енергія, ніякий сигнал не може поширюватися зі швидкістю, що перевищує швидкість світла у вакуумі. При цьому швидкість світла у вакуумі стала і не залежить від напрямку поширення. Це положення прийнято формулювати у вигляді двох постулатів Ейнштейна – принципу відносності та принципу сталості швидкості світла.

Область застосування законів класичної механіки обмежена швидкістю руху матеріального об'єкта: якщо швидкість тіла можна порівняти зі швидкістю світла, необхідно використовувати релятивістські формули. Таким чином, швидкість світла у вакуумі є критерієм, що визначає межу застосування класичних законів, т.к. вона є максимальною швидкістю передачі сигналів.

Залежність маси тіла, що рухається від швидкості руху визначається співвідношенням

Релятивістський імпульс тіла та відповідно рівняння динаміки його руху

Зміна швидкості в релятивістській механіці спричиняє зміну маси, а, отже, і повну енергію:

У СТО виконується закон збереження релятивістської маси та енергії: зміна повної енергії тіла супроводжується еквівалентною зміною її маси:

Фізичний зміст цього співвідношення полягає в наступному: існує важлива можливість переходу матеріальних об'єктів, що мають масу спокою, електромагнітне випромінювання, що не має маси спокою; у своїй виконується закон збереження енергії. Це співвідношення є найважливішим для ядерної фізики та фізики елементарних частинок.

Питання для самоконтролю та повторення

1. У чому полягає фізична сутність механічного принципу відносності? Чим відрізняється принцип відносності Галілея від принципу відносності Ейнштейна?

2. Які причини створення спеціальної теорії відносності?

3. Сформулюйте постулати спеціальної теорії відносності.

4. Запишіть перетворення Лоренца. За яких умов вони перетворюються на перетворення Галілея?

5. У чому полягає релятивістський закон складання швидкостей?

6. Як у релятивістській механіці маса тіла, що рухається, залежить від швидкості?

7. Запишіть основне рівняння релятивістської динаміки. Чим воно відрізняється від основного закону ньютонівської механіки?

8. У чому полягає закон збереження релятивістського імпульсу?

9. Як виражається кінетична енергія у релятивістській механіці?

10. Сформулюйте закон взаємозв'язку маси та енергії. У чому його фізична сутність? Визначити його релятивістський імпульс та кінетичну енергію.

Дано:кг; v=0,7c; з= 3 · 10 8 м / с.

Знайти: р, E k.

Релятивістський імпульс протона обчислимо за формулою

Кінетична енергіячастинки

де Е- повна енергія протона, що рухається; Е 0 – енергія спокою.

Відповідь:р= 5,68 · 10 -19 Н · с; E k= 7,69 · 10 -11 Дж.

Завдання для самостійного вирішення

1. З якою швидкістю повинен рухатися стрижень, щоб його розміри в напрямку руху скоротилися втричі?

2. Частка рухається зі швидкістю v= 8 c. Визначити ставлення повної енергії релятивістської частки до її спокою.

3. Визначити швидкість, коли релятивістський імпульс частки перевищує її ньютоновський імпульс втричі.

4. Визначити релятивістський імпульс електрона, кінетична енергія якого E k= 1 ГеВ.

5. На скільки відсотків збільшиться маса електрона після проходження ним у прискорювальному електричному полі різниці потенціалів 1,5 МВ?

Другий закон Ньютона свідчить, що похідна імпульсу частки (матеріальної точки) за часом дорівнює результуючій силі, що діє частинку (див. формулу (9.1)). Рівняння другого закону виявляється інваріантним щодо перетворення Лоренца, якщо під імпульсом розуміти величину (67.5). Отже, релятивістський вираз Другого закону Ньютона має вигляд

Слід мати на увазі, що співвідношення в релятивістському випадку не застосовується, причому прискорення w і сила F, взагалі кажучи, виявляються неколінеарними.

Зауважимо, що імпульс, ні сила є інваріантними величинами. Формули перетворення компонентів імпульсу при переході від однієї інерційної системи відліку до іншої будуть отримані в наступному параграфі. Формули перетворення компонентів сили ми дамо без. висновку:

(Швидкість частинки в системі К). Якщо сила F, що діє на частину, перпендикулярна до швидкості частинки V, скалярний добуток FV дорівнює нулю і перша з формул (68.2) спрощується наступним чином:

Щоб знайти релятивістський вираз для енергії, зробимо так само, як ми надійшли в § 19. Помножимо рівняння (68.1) на переміщення частки . В результаті отримаємо

Права частина цього співвідношення дає роботу, що здійснюється над часткою за час. У § 19 було показано, що робота результуючої всіх сил йде на збільшення кінетичної енергії частки (див. формулу ). Отже, ліва частина співвідношення повинна бути витлумачена як збільшення кінетичної енергій Т частки за час . Таким чином,

Перетворимо отриманий вираз, врахувавши, що (див. (2.54)):

Інтегрування отриманого співвідношення дає

(68.4)

Звідси для константи виходить значення, рівне Отже, релятивістський вираз для кінетичної енергії частки має вигляд

У разі малих швидкостей формулу (68.5) можна перетворити так:

Ми прийшли до ньютонівського виразу для кінетичної енергії частки. Цього й слід було очікувати, оскільки при швидкостях, набагато менших за швидкість світла, всі формули релятивістської механіки повинні переходити у відповідні формули ньютонівської механіки.

Розглянемо вільну частинку (тобто частинку, не схильну до дії зовнішніх сил), що рухається зі швидкістю v. Ми з'ясували, що ця частка має кінетичну енергію, яка визначається формулою (68.5). Однак є підстави (див. нижче) приписати вільній частинці, крім кінетичної енергії (68.5), додаткову енергію, рівну

Таким чином, повна енергія вільної частки визначається виразом . Взявши до уваги (68.5), отримаємо, що

При виразі (68.7) перетворюється на (68.6). Тому називають енергією спокою. Ця енергія є внутрішньою енергією частинки, не пов'язану з рухом частинки як цілого.

Формули (68.6) і (68.7) справедливі як елементарної частинки, але й складного тіла, що з багатьох частинок. Енергія такого тіла містить у собі, крім енергій спокою частинок, що входять до його складу, також кінетичну енергію частинок (обумовлену їх рухом щодо центру мас тіла) енергію їх взаємодії один з одним. В енергію спокою, як і на повну енергію (68.7), не входить потенційна енергія тіла у зовнішньому силовому полі.

Виключивши із рівнянь (67.5) і (68.7) швидкість v (рівняння. (67.5) потрібно взяти в скалярному вигляді), отримаємо вираз повної енергії частки через імпульс р:

У разі, коли цю формулу можна подати у вигляді

Отриманий вираз відрізняється від ньютонівського виразу для кінетичної енергії доданком

Зауважимо, що зі зіставлення виразів (67.5): і (68.7) випливає формула

Пояснимо, чому вільній частинці слід приписувати енергію (68.7), а не лише кінетичну енергію (68.5). Енергія за своїм змістом повинна бути величиною, що зберігається. Відповідний розгляд показує, що при зіткненнях частинок зберігається сума (за частинками) виразів виду (68.7), у той час як сума виразів (68.5) виявляється не збереженою. Неможливо задовольнити вимогу збереження енергії у всіх інерційних системах відліку, якщо не враховувати енергію спокою (68.6) у складі повної енергії.